Натуральные числа, дающие при делении на 8 остаток 7 образуют арифмитическую прогрессию с первым членом 7 и разностью 8
7, 15, 23, ...
![a_1=7; d=8](https://tex.z-dn.net/?f=a_1%3D7%3B+d%3D8)
![a_6=a_1+(n-1)*d](https://tex.z-dn.net/?f=a_6%3Da_1%2B%28n-1%29%2Ad)
![d_6=7+(6-1)*8=47](https://tex.z-dn.net/?f=d_6%3D7%2B%286-1%29%2A8%3D47)
ответ: 47
![\left \{ {{x^2+4x<1} \atop {x^2+4x>-1}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx%5E2%2B4x%3C1%7D+%5Catop+%7Bx%5E2%2B4x%3E-1%7D%7D+%5Cright.)
![\left \{ {{x^2+4x-1<0} \atop {x^2+4x+1>0}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx%5E2%2B4x-1%3C0%7D+%5Catop+%7Bx%5E2%2B4x%2B1%3E0%7D%7D+%5Cright.)
решим оба квадратных уравнения:
1)x^2+4x-1<0;
D=16+4*1=20=4*5;
x1=(-4+2√5)/2=-2+√5;
x1=(-4-2√5)/2=-2-√5;
+ - +
___-2-√5____-2+√5____
-2-√5<x<-2+√5;
2)x^2+4x+1>0;
D=16-4*1=12=4*3;
x1=(-4+2√3)/2=-2+√3;
x1=(-4-2√3)/2=-2-√3;
+ - +
___-2-√3____-2+√3____
x<-2-√3;
x>-2+√3;
x ∈ (-2-√5;-2-√3) ∪ (-2+√3;-2+√5);
2 в корне из 5 делим на 2 и получаем корень на 1+2 и делим через дробь на 15 и*5
![n^2+3n+1 = (n+2)^2-(n+3)\\ ](https://tex.z-dn.net/?f=+n%5E2%2B3n%2B1+++++++++++%3D+%28n%2B2%29%5E2-%28n%2B3%29%5C%5C%0A)
, числа
![n+2;n+3](https://tex.z-dn.net/?f=n%2B2%3Bn%2B3)
два подряд идущих числа, одно из них четна ,тогда другое не четна , заменим
число
![x(x-1)](https://tex.z-dn.net/?f=x%28x-1%29)
всегда четное , тогда
![x(x-1)+1](https://tex.z-dn.net/?f=x%28x-1%29%2B1)
нечетное