![x^4+2x^3-4x^2-2ax+4a-a^2=0 \\ x^4-a^2+2x^3-4x^2-2ax+4a=0 \\ (x^2-a)(x^2+a)+2x^2(x-2)-2a(x-2)=0 \\ (x^2-a)(x^2+a)+2(x-2)(x^2-a)=0 \\ (x^2-a)(x^2+a+2(x-2))=0 \\ (x^2-a)(x^2+a+2x-4))=0 \\ (x^2-a)(x^2+2x+a-4)=0 \\ (x- \sqrt{a} )(x+ \sqrt{a} )(x^2+2x+a-4)=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E4%2B2x%5E3-4x%5E2-2ax%2B4a-a%5E2%3D0++%5C%5C+x%5E4-a%5E2%2B2x%5E3-4x%5E2-2ax%2B4a%3D0+%5C%5C+%28x%5E2-a%29%28x%5E2%2Ba%29%2B2x%5E2%28x-2%29-2a%28x-2%29%3D0+%5C%5C++%28x%5E2-a%29%28x%5E2%2Ba%29%2B2%28x-2%29%28x%5E2-a%29%3D0+%5C%5C+%28x%5E2-a%29%28x%5E2%2Ba%2B2%28x-2%29%29%3D0+%5C%5C+%28x%5E2-a%29%28x%5E2%2Ba%2B2x-4%29%29%3D0+%5C%5C+%28x%5E2-a%29%28x%5E2%2B2x%2Ba-4%29%3D0+%5C%5C++%28x-+%5Csqrt%7Ba%7D+%29%28x%2B+%5Csqrt%7Ba%7D+%29%28x%5E2%2B2x%2Ba-4%29%3D0)
произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные имеют смысл.
Уравнение четвертой степени может иметь максимум 4 действительных различных корня: x₁; x₂; x₃; x₄
Первые два корня: x₁=√a и x₂=-√a
квадратное уравнение: x²+2x+a-4=0
1)имеет два корня, если дискриминант больше нуля (D>0)
2)имеет один корень, если D=0
3)не имеет корней, если D<0
3-ий случай нас не интересует, так как исходное уравнение будет иметь только два корня: x₁=√a и x₂=-√a
анализируем исходное уравнение,
если x₁=x₂ => √a=-√a => a=0
тогда квадратное уравнение x²+2x+a-4=0 - должно иметь два корня, (причем ни один из этих корней не должен равняться нулю) чтобы было хотя бы 3 корня у исходного уравнения
![1) \left \{ {{a=0} \atop {D\ \textgreater \ 0}} \right. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{a=0} \atop {4-4*(a-4)\ \textgreater \ 0}} \right. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{a=0} \atop {4-4a+16\ \textgreater \ 0}} \right. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{a=0} \atop {20\ \textgreater \ 4a}} \right. \ \\ \\ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{a=0} \atop {a\ \textless \ 5}} \right.\ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ a=0](https://tex.z-dn.net/?f=1%29+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Ba%3D0%7D+%5Catop+%7BD%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%7D%7D+%5Cright.+%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Ba%3D0%7D+%5Catop+%7B4-4%2A%28a-4%29%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%7D%7D+%5Cright.+%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Ba%3D0%7D+%5Catop+%7B4-4a%2B16%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%7D%7D+%5Cright.+%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Ba%3D0%7D+%5Catop+%7B20%5C+%5Ctextgreater+%5C+4a%7D%7D+%5Cright.+++%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Ba%3D0%7D+%5Catop+%7Ba%5C+%5Ctextless+%5C+5%7D%7D+%5Cright.%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C+a%3D0+)
то есть a=0 подходит для нашего условия.
рассматривать a<0, нет смысла, так как x₁=√a и x₂=-√a
"а" под квадратным корнем, значит "а" должно быть больше или равно нулю.
Если x₁≠ x₂ , тогда "а" может быть любым положительным числом (а>0)
и уже будет два корня. Следовательно квадратное уравнение может иметь один или два корня, чтобы всего было не менее 3-х корней.
![2) \ \left \{ {{a\ \textgreater \ 0} \atop {D \geq 0}} \right. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{a\ \textgreater \ 0} \atop {a \leq 5}} \right. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ 0\ \textless \ a \leq 5](https://tex.z-dn.net/?f=2%29+%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Ba%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%7D+%5Catop+%7BD+%5Cgeq+0%7D%7D+%5Cright.++%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Ba%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%7D+%5Catop+%7Ba+%5Cleq+5%7D%7D+%5Cright.+%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C+0%5C+%5Ctextless+%5C+a+%5Cleq+5)
c учетом того, что а=0 или а∈(0;5], получается, что а∈[0;5]
НО и это еще не все!
Уравнение четвертой степени может иметь меньше 3-х корней, если
х₁=х₃ и х₂=х₄
или наоборот:
х₁=х₄ и х₂=х₃
Найдем корни квадратного уравнения: х₃ и х₄
![x^2+2x+a-4=0 \\ \\ D=4-4(a-4)=4(1-a+4)=4(5-a) \\ \sqrt{D} = \sqrt{4(5-a)}=2 \sqrt{5-a} \\ \\ x_{3,4}= \frac{-2^+_-2 \sqrt{5-a} }{2} =-1^+_- \sqrt{5-a} \\ \\ 3) \ \left \{ {{x_1=x_3} \atop {x_2=x_4}} \right. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{ \sqrt{a} =-1+ \sqrt{5-a} } \atop {- \sqrt{a}=-1- \sqrt{5-a} }} \right. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{ \sqrt{a}+1= \sqrt{5-a} } \atop { \sqrt{a}=1+ \sqrt{5-a} }} \right. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \\ \\ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{a+2 \sqrt{a} +1=5-a} \atop {a=1+2 \sqrt{5-a}+5-a }} \right. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B2x%2Ba-4%3D0+%5C%5C++%5C%5C+D%3D4-4%28a-4%29%3D4%281-a%2B4%29%3D4%285-a%29+%5C%5C++%5Csqrt%7BD%7D+%3D+%5Csqrt%7B4%285-a%29%7D%3D2+%5Csqrt%7B5-a%7D++%5C%5C++%5C%5C+x_%7B3%2C4%7D%3D+%5Cfrac%7B-2%5E%2B_-2+%5Csqrt%7B5-a%7D+%7D%7B2%7D+%3D-1%5E%2B_-+%5Csqrt%7B5-a%7D++%5C%5C++%5C%5C+3%29+%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx_1%3Dx_3%7D+%5Catop+%7Bx_2%3Dx_4%7D%7D+%5Cright.++%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B++%5Csqrt%7Ba%7D+%3D-1%2B+%5Csqrt%7B5-a%7D++%7D+%5Catop+%7B-+%5Csqrt%7Ba%7D%3D-1-++%5Csqrt%7B5-a%7D+++%7D%7D+%5Cright.+%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B+%5Csqrt%7Ba%7D%2B1%3D+%5Csqrt%7B5-a%7D++%7D+%5Catop+%7B+%5Csqrt%7Ba%7D%3D1%2B+%5Csqrt%7B5-a%7D++%7D%7D+%5Cright.+%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Ba%2B2+%5Csqrt%7Ba%7D+%2B1%3D5-a%7D+%5Catop+%7Ba%3D1%2B2+%5Csqrt%7B5-a%7D%2B5-a+%7D%7D+%5Cright.+%5C++%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C++)
![\ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{2 \sqrt{a}=4-2a} \atop {2 \sqrt{5-a}=2a-4 }} \right. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{ \sqrt{a} =2-a} \atop { \sqrt{5-a}=a-2 }} \right. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \](https://tex.z-dn.net/?f=%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B2+%5Csqrt%7Ba%7D%3D4-2a%7D+%5Catop+%7B2+%5Csqrt%7B5-a%7D%3D2a-4+%7D%7D+%5Cright.+%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B+%5Csqrt%7Ba%7D+%3D2-a%7D+%5Catop+%7B+%5Csqrt%7B5-a%7D%3Da-2+%7D%7D+%5Cright.+%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C++)
Дальше можешь сам(а) дорешать и убедится, что решений у этой системы нет
![4) \ \left \{ {{x_1=x_4 \atop {x_2=x_3}} \right. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{ \sqrt{a}=-1- \sqrt{5-a} } \atop {- \sqrt{a} =-1+ \sqrt{5-a} }} \right. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{ \sqrt{a}+ \sqrt{5-a} =-1 } \atop {\sqrt{a}+ \sqrt{5-a} =1}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=4%29+%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx_1%3Dx_4+%5Catop+%7Bx_2%3Dx_3%7D%7D+%5Cright.+%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C+++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B+%5Csqrt%7Ba%7D%3D-1-+%5Csqrt%7B5-a%7D++%7D+%5Catop+%7B-+%5Csqrt%7Ba%7D+%3D-1%2B+%5Csqrt%7B5-a%7D+%7D%7D+%5Cright.+%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B+%5Csqrt%7Ba%7D%2B+%5Csqrt%7B5-a%7D+%3D-1+%7D+%5Catop+%7B%5Csqrt%7Ba%7D%2B+%5Csqrt%7B5-a%7D+%3D1%7D%7D+%5Cright.+)
эта система так же не имеет решений.
Были рассмотрены все случаи (по-моему мнению)
ОТВЕТ: а∈[0;5]