Возможны оба варианта написания данного наречия - и слитное, и раздельное.
Известно, что одним из способов образования наречий является приставочный.
От наречия "доверчиво" можно образовать с помощью приставки НЕ новое слово, которое пишется слитно: доверчиво - недоверчиво. (Кстати, легко заменить наречие с НЕ синонимами без приставки НЕ: недоверчиво - подозрительно, скептически, опасливо, осторожно).
Пример предложения:
Женщина недоверчиво взглянула на блестящую, яркую упаковку и поспешила отвязаться от назойливого продавца.
Но если в предложении имеется противопоставление, то наречие "доверчиво" следует писать раздельно с частицей НЕ.
Пример:
Напрасно соседка увещевала свою простодушную подругу, что к заманчивым объявлениям в газете надо относиться не доверчиво, а весьма осторожно. (Союз "а" находится между наречиями с противоположным значением, слова "доверчиво" и "осторожно" являются антонимами).
Правда, если вместо союза "а" стоит союз "но", то это говорит о том, что слова не являются противоположными по значению, не противопоставляются друг другу, в этом случае НЕ с наречием пишется слитно.
Пример:
Водитель смотрел на незнакомца недоверчиво, но внимательно. (Слова "недоверчиво" и "внимательно" не являются антонимами).