Такую задачу решим графическим методом. Для начала замечу, что второе уравнение системы имеет наиболее узнаваемый вид: это окружность с центром в начале координат и радиусом 1.
Второе уравнение системы имеет менее узнаваемый вид. Это не что иное как ромб с центров в начале координат. Если есть какие-то сомнения, то попробуйте построить данную кривую непосредственно, раскрывая модули.
Строим их на одной плоскости. В зависимости от параметра c будет менять и размер ромбика.
Нам необходимо найти такие случаи расположения фигур, чтобы система имела ровно 8 решений.Иными словами, фигуры имели бы между собой ровно 8 точек пересечения.
Очевидно, что граничными для нашей ситуации случаями являются следующие.
8 точек пересечения будет лишь тогда, когда каждая сторона ромба(их 4) будет пересекать окружность ровно в двух точках. Как можно убедиться после построения, этот случай "зажат" в точности между двумя другими. На первом рисунке изображена ситуация, когда нужного нам пересечения ещё не началось, оно вот-вот начнётся. Как мы видим, это положение является левым граничным для нашей ситуации и отличается тем, что каждая сторона ромба при этом проходит через крайние левые и правые точки окружности. При этом в силу симметрий относительно оси OX и OY достаточно потребовать прохождение через данную точку лишь одной из сторон ромба, например, лежащей в первой четверти.
Рассмотрим эту ситуацию.
Сторона ромба, лежащая в первой четверти, очевидно, задаётся уравнением
(мы модули раскрыли со знаком +). Как мы уже поняли, необходимо потребовать, чтобы эта прямая прошла в точности через крайнюю правую точку окружности, то есть, через точку (1,0). Для этого подставляем координаты в уравнение и находим соответствующее значение с.
, откуда c = 3.
Как уже было отмечено, при этом не обязательно проверять аналогично все стороны ромба, поскольку две соседние стороны симметричны либо относительно оси OX, либо относительно OY, то есть, при c = 3 другие стороны однозначно пройдут так, как мы хотим.
Рассмотрим теперь второй рисунок.
2)Эта ситуация отличается тем, что теперь все стороны ромба касаются окружности. Так что нам необходимо найти такое c, при котором это будет выполняться. Замечу, что и в этом случае необязательно требовать сразу от всех сторон такого. Достаточно потребовать лишь от одной стороны и тогда, в силу симметрии ромба, остальные стороны встанут, куда надо. Возьмём опять же нашу сторону, лежащую в первой четверти.
Её уравнение мы знаем. А вот какое уравнение имеет дуга окружности? В нашем случае, прямая касается верхней дуги, и найдём её уравнение.
Мы взяли квадратный корень без знака -, потому что для верхней дуги y > 0. Теперь для достижения нашего условия достаточно потребовать, чтобы сторона ромба касалась дуги.
То есть, наша задача переформулировалась так. При каком значении параметра с прямая
будет являться касательной для 
.
Для того, чтобы ответить на этот вопрос, вспомним геометрический смысл производной. Он гласит, что значение производной функции в точке касания есть угловой коэффициент касательной, проведённой к графику в абсциссе точки касания. Из этого смысла мы найдём точку, в которую нам нужно провести касательную. Ищем производную нашей полуокружности:
Согласно геометрическому смыслу, в некоторой точке
:
Здесь угловой коэффициент нашей прямой равен -3(перенесите всё с x вправо). Решаем уравнение:
По смыслу рассматриваемой прямой и с учётом первой четверти берём положительную абсциссу.
Находим ординату точки касания:
Точка касания принадлежит одновременно и самой прямой, это понятно. Из этого условия и находим значение параметра для нашей ситуации:
По идее надо бы проверить ещё, что найденный параметр действительно удовлетворяет рассматриваемой ситуации и найденная прямая действительно является самой касательной. Ведь подобным уравнением могут обладать и прямые, параллельные касательной. Но с учётом громоздкости найденных значений параметров, думаю, отложим такую проверку.
Окончательный ответ будет находиться между этими двумя случаями, так что просто пишем интервал с выколотыми концами, поскольку оба рассмотренных случая являются граничными, но не удовлетворяют условию задачи.
Ответ: c∈
Второе уравнение системы имеет менее узнаваемый вид. Это не что иное как ромб с центров в начале координат. Если есть какие-то сомнения, то попробуйте построить данную кривую непосредственно, раскрывая модули.
Строим их на одной плоскости. В зависимости от параметра c будет менять и размер ромбика.
Нам необходимо найти такие случаи расположения фигур, чтобы система имела ровно 8 решений.Иными словами, фигуры имели бы между собой ровно 8 точек пересечения.
Очевидно, что граничными для нашей ситуации случаями являются следующие.
8 точек пересечения будет лишь тогда, когда каждая сторона ромба(их 4) будет пересекать окружность ровно в двух точках. Как можно убедиться после построения, этот случай "зажат" в точности между двумя другими. На первом рисунке изображена ситуация, когда нужного нам пересечения ещё не началось, оно вот-вот начнётся. Как мы видим, это положение является левым граничным для нашей ситуации и отличается тем, что каждая сторона ромба при этом проходит через крайние левые и правые точки окружности. При этом в силу симметрий относительно оси OX и OY достаточно потребовать прохождение через данную точку лишь одной из сторон ромба, например, лежащей в первой четверти.
Рассмотрим эту ситуацию.
Сторона ромба, лежащая в первой четверти, очевидно, задаётся уравнением
Как уже было отмечено, при этом не обязательно проверять аналогично все стороны ромба, поскольку две соседние стороны симметричны либо относительно оси OX, либо относительно OY, то есть, при c = 3 другие стороны однозначно пройдут так, как мы хотим.
Рассмотрим теперь второй рисунок.
2)Эта ситуация отличается тем, что теперь все стороны ромба касаются окружности. Так что нам необходимо найти такое c, при котором это будет выполняться. Замечу, что и в этом случае необязательно требовать сразу от всех сторон такого. Достаточно потребовать лишь от одной стороны и тогда, в силу симметрии ромба, остальные стороны встанут, куда надо. Возьмём опять же нашу сторону, лежащую в первой четверти.
Её уравнение мы знаем. А вот какое уравнение имеет дуга окружности? В нашем случае, прямая касается верхней дуги, и найдём её уравнение.
Мы взяли квадратный корень без знака -, потому что для верхней дуги y > 0. Теперь для достижения нашего условия достаточно потребовать, чтобы сторона ромба касалась дуги.
То есть, наша задача переформулировалась так. При каком значении параметра с прямая
Для того, чтобы ответить на этот вопрос, вспомним геометрический смысл производной. Он гласит, что значение производной функции в точке касания есть угловой коэффициент касательной, проведённой к графику в абсциссе точки касания. Из этого смысла мы найдём точку, в которую нам нужно провести касательную. Ищем производную нашей полуокружности:
Согласно геометрическому смыслу, в некоторой точке
Здесь угловой коэффициент нашей прямой равен -3(перенесите всё с x вправо). Решаем уравнение:
По смыслу рассматриваемой прямой и с учётом первой четверти берём положительную абсциссу.
Находим ординату точки касания:
Точка касания принадлежит одновременно и самой прямой, это понятно. Из этого условия и находим значение параметра для нашей ситуации:
По идее надо бы проверить ещё, что найденный параметр действительно удовлетворяет рассматриваемой ситуации и найденная прямая действительно является самой касательной. Ведь подобным уравнением могут обладать и прямые, параллельные касательной. Но с учётом громоздкости найденных значений параметров, думаю, отложим такую проверку.
Окончательный ответ будет находиться между этими двумя случаями, так что просто пишем интервал с выколотыми концами, поскольку оба рассмотренных случая являются граничными, но не удовлетворяют условию задачи.
Ответ: c∈