Задача записана не совсем чётко, поскольку между слогаемыми
![\frac{3}{x^4}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%5E4%7D+)
и
![2x^2](https://tex.z-dn.net/?f=+2x%5E2+)
не поставлен никакой знак. Ну а поскольку арифметические знаки « * » и « : » в данном случае довольно бессмысленны, то скорее всего там « + » или « – ».
Поскольку основная проблема состоит в навыке определения чётности и нечётности функции и в поиске области её определения, то сосредоточимся именно на этих вопросах.
Чтобы уметь решать любые подобные задачи, решим аналогичную задачу:
***
![y = \frac{7}{x^2} + 3x^6](https://tex.z-dn.net/?f=+y+%3D+%5Cfrac%7B7%7D%7Bx%5E2%7D+%2B+3x%5E6+)
– исследовать функцию на чётность и найти её область определения.
Функция является чётной, если
![y(-x) = y(x)](https://tex.z-dn.net/?f=+y%28-x%29+%3D+y%28x%29+)
(I) ;
Иначе, если функция нечётна, то
![y(-x) = -y(x)](https://tex.z-dn.net/?f=+y%28-x%29+%3D+-y%28x%29+)
(II) ;
Иначе, если не выполняется ни условие (I) ни условие (II) – функция не является ни чётной, ни нечётной.
В данном случае по показателям степеней сразу же видно, что функция должна быть чётной.
Проверим это по формуле (I), подставив в неё « –x » вмеcто « x » :
![y(-x) = \frac{7}{ (-x)^2 } + 3(-x)^6 = \frac{7}{x^2} + 3x^6 = y(x)](https://tex.z-dn.net/?f=+y%28-x%29+%3D+%5Cfrac%7B7%7D%7B+%28-x%29%5E2+%7D+%2B+3%28-x%29%5E6+%3D+%5Cfrac%7B7%7D%7Bx%5E2%7D+%2B+3x%5E6+%3D+y%28x%29+)
;
Как видим, формула (I) полностью подтверждается.
ОТВЕТ(1) *** Значит функция чётная.
Область определения функции D(y) – это всё возможные значения x, которые можно подставить в заданную функцию.
В заданную функцию нельзя подставить только x=0, поскольку в этом случае возникает необходимость деления на 0, что невозможно.
ОТВЕТ(1) *** Область определения
![D(f) = R](https://tex.z-dn.net/?f=+D%28f%29+%3D+R+)
\ {0}
![= ( -\infty ; 0 )U(0 ; +\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=+%3D+%28+-%5Cinfty+%3B+0+%29U%280+%3B+%2B%5Cinfty%29+)