#1.
Углы А и С - углы при основании. Следовательно, они равны. Тогда их сумма равна А+С=67+67=134°
#2.
АК - половина АС, т. к. ВК делит АС на две равные части. Тогда АК=АС:2=46:2=23см
#3.
ВК не только высота, но и медиана, то есть делит угол АВС на две равные части. Тогда угол АВК=АВС:2=46:2=23°
1. a*b = |a|*|b|*cosф = 1*кор(2+1) *(кор3)/2 = 1,5
Ответ: 1,5
2. Условие перпендикулярности - равенство нулю скалярного произведения:
a*b = (-2)*9 + 1*m = m - 18 = 0
Значит m = 18
Ответ: 18
3. Угол ВАС - это угол между векторами АВ и АС. Найдем координаты :
АВ (-1-2; 3-3) = (-3; 0) |AB| = 3
АС (-2-2; -1-3) = (-4; -4) |AC| = 4кор2
Их скалярное произведение: АВ*АС = 12
Находим косинус угла ВАС:
cosBAC = 12/(3*4кор2) = 1/(кор2)
Значит угол ВАС = 45 град Ответ: ВАС = 45 град
Найдем координаты СВ:
СВ = (1; 4)
Найдем координаты СА:
СА = -АС = (4; 4)
Косинус ВСА имеет положительный знак, т.к. скалярное произведение СВ на СА - положительно: СВ*СА = 1*4 + 4*4 = 20>0
Значит угол ВСА - острый, что и требов. доказать
Пусть переменная х-меньший угол, а 4х-больший угол
а сумма этих смежных углов 180
тогда имеем уравнение вида: х+4х=180
5х=180
х=36=меньший угол =>больший угол =
=4*36 =144
угол, образующийся за счет биссектрис смежных углов= половина одного угла+половина другого:
36/2+144/2=18+72=90
По теореме косинусов в треугольнике АВС:
ВС²= АВ²+АС² -2АВ*АС*Cos60 = 100+196-140=156=2√39.
Полупериметр треугольника АВС: (10+14+2√39):2 =12+√39.
По Герону Sabc=√(p(p-a)(p-b)(p-c)) или
Sabc= √((12+√39)(2+√39)(-2+√39)(12-√39)) =
√((144-39)(39-4))=√(105*35) =5√147.
Sboc=(2/6)*Sabc (свойство медиан: три медианы делят треугольник на 6 равновеликих).
Sboc=(5/3)√147 ≈ 20,2 ед².