Question

решить в рамках школьной программы, 11 класс.$\lim_{x \to a} \frac{x^{ \sqrt{2} }-a^{ \sqrt{2} }}{x-a}$

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{x^{ \sqrt{2} }-a^{ \sqrt{2} }}{x-a}=\bigg\{x-a=t;\,\,\,\,\, x=t+a;\,\,\,\,\,\, t\to 0\bigg\}=\\ \\ \\ =\lim_{t\to 0} \frac{(t+a)^{ \sqrt{2} }-a^{ \sqrt{2} }}{t} =a^{ \sqrt{2} }\lim_{t\to 0} \frac{(1+ \frac{t}{a})^{\sqrt{2}}-1 }{t} =\\ \\ \\ =a^{ \sqrt{2} }\lim_{t\to 0} \frac{e^{ \sqrt{2} \ln(1+ \frac{t}{a} )}-1}{ \sqrt{2}\ln(1+ \frac{t}{a} )} \cdot \frac{ \sqrt{2}\ln(1+ \frac{t}{a} ) }{a\cdot \frac{t}{a} } = a^{ \sqrt{2}-1 }\cdot\sqrt{2}$