Дана <span>правильная четырёхугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны, точка M - середина SB.
Найти косинус между АМ и </span>BD.
Есть 2 метода решения этого задания:
1) геометрический,
2) векторный.
Примем 1 вариант. Длины рёбер примем за 1.
Перенесём отрезок АМ точкой А в точку Д.
Новую точку М соединим с вершиной основания В.
Получили треугольник ДМВ.
Находим длины сторон.
ДВ = √2 (как диагональ квадрата).
Высота пирамиды с диагональю √2 и боковыми рёбрами по 1 (это прямоугольный равнобедренный треугольник с острыми углами по 45 градусов) равна половине гипотенузы, то есть √2/2.
Так как точка М на середине ребра, то она по высоте отстоит от основания на √2/4.
ВМ = √((1+(1/4))²+(1/4)²+(√2/4)²) = √(25+1+2)/16) = √28/4 = √7/2.
ДМ = √((3/4)²+(1/4)²+(√2/4)²) = √(9+1+2)/16) = √12/4 = √3/2.
Косинус угла Д находим по теореме косинусов.
cos D = ((√3/2)²+(√2)²-(√7/2)²)/(2*(√3/2)*(√2) =
= ((3/4)+2-(7/4))/√6 = 1/√6 = √6/6 ≈ <span><span>0,4082483.
Этому косинусу соответствует угол </span></span><span><span><span>
1,150262 радиан или
</span><span>
65,905157</span></span></span>°.
Ответ:
1. Р = 18см.
2 АС = 30/(√3+1) м.
Объяснение:
Площадь треугольника равна (1/2)·a·b·Sinα, где a и b - стороны треугольника, а α - угол между этими сторонами. В нашем случае
а = 3х, b = 8x, Sinα = √3/2. Тогда
(1/2)·24х²·(√3/2) = 6√3 => x = 1 см.
Имеем две стороны треугольника: 3см и 8см.
По теореме косинусов находим третью сторону:
Х = √(3²+8²- 2·3·8·Cos60) = √49 = 7см.
Периметр треугольника равен 3+8+7 = 18см.
2. По теореме синусов в треугольнике АВС:
АС/Sinβ = AB/SinC.
∠C = 180 - 60 - 45 = 75°. Sin75° = Sin(45+30). По формуле
Sin(45+30) = Sin45·Cos30 + cos45·Sin30 = (√6+√2)/4.
Тогда АС = АВ·Sinβ/SinC = (30·√3/2)/((√6+√2)/4). или
АС = 60/((√6+√2) = 60/(√2(√3+1)) = 30/(√3+1) м.
L = (πR / 180) · α
l = (3π/180) * 150
l = 2,5 π
1. угол B у этих треугольников- 1 , тут ничего не надо доказывать, 2. угол Д = углу C так как они оба - прямые ,3. угол bcd = углу a так как сумма всех углов любого треугольника равна 180градусам , значит если в двух треугольниках равны первые 2 угла, будут равны и третьи углы.
Сумма смежных углов равна 180 градусам,а значит второй угол равен 180-44 = 136 градусов.