Дано:
b(n) - геометрическая прогрессия;
b₄ = 8;
b₇ = 512
1) Найти q.
2) Найти n при S(n)=2 ⁵/₈
Решение.
1) Воспользуемся формулой общего члена геометрической прогрессии: ![b_n=b_1q^{n-1}](https://tex.z-dn.net/?f=b_n%3Db_1q%5E%7Bn-1%7D)
![b_4=b_1q^3;](https://tex.z-dn.net/?f=b_4%3Db_1q%5E3%3B)
![b_7=b_1q^6;](https://tex.z-dn.net/?f=b_7%3Db_1q%5E6%3B)
Подставим b₄ = 8; и b₇ = 512 и получим:
;
![512=b_1q^6](https://tex.z-dn.net/?f=512%3Db_1q%5E6)
Второе уравнение преобразуем:
![512=b_1q^3 *q^3](https://tex.z-dn.net/?f=512%3Db_1q%5E3+%2Aq%5E3)
Подставим из первого уравнения
во второе и получим:
![512=8 *q^3](https://tex.z-dn.net/?f=512%3D8+%2Aq%5E3)
![q^3=512:8](https://tex.z-dn.net/?f=q%5E3%3D512%3A8)
![q^3=64](https://tex.z-dn.net/?f=q%5E3%3D64)
![q=\sqrt[3]{64}](https://tex.z-dn.net/?f=q%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B64%7D)
![q=4](https://tex.z-dn.net/?f=q%3D4)
2) Найдем b₁ с помощью первого уравнения:
![8=b_1q^3=>8=b_1*4^3](https://tex.z-dn.net/?f=8%3Db_1q%5E3%3D%3E8%3Db_1%2A4%5E3)
![b_1=\frac{8}{64}=\frac{1}{8}](https://tex.z-dn.net/?f=b_1%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B64%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D)
![b_1=\frac{1}{8}](https://tex.z-dn.net/?f=b_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D)
3)Воспользуемся формулой суммы первых членов геометрической прогрессии:
![S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}](https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%5Cfrac%7Bb_1%28q%5En-1%29%7D%7Bq-1%7D)
Подставим ![S_n=2\frac{5}{8};q=4;b_1=\frac{1}{8}](https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D2%5Cfrac%7B5%7D%7B8%7D%3Bq%3D4%3Bb_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D)
![2\frac{5}{8} =\frac{\frac{1}{8}*(4^n-1)}{4-1}](https://tex.z-dn.net/?f=2%5Cfrac%7B5%7D%7B8%7D+%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%2A%284%5En-1%29%7D%7B4-1%7D)
![\frac{21}{8} =\frac{4^n-1}{8*3}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B21%7D%7B8%7D+%3D%5Cfrac%7B4%5En-1%7D%7B8%2A3%7D)
![8*(4^n-1)=21*8*3](https://tex.z-dn.net/?f=8%2A%284%5En-1%29%3D21%2A8%2A3)
![4^n-1=63](https://tex.z-dn.net/?f=4%5En-1%3D63)
![4^n=63+1](https://tex.z-dn.net/?f=4%5En%3D63%2B1)
![4^n=64](https://tex.z-dn.net/?f=4%5En%3D64)
![4^n=4^3](https://tex.z-dn.net/?f=4%5En%3D4%5E3)
![n=3](https://tex.z-dn.net/?f=n%3D3)
3 перших члена прогресії потрібно взяти, щоб їхня сума дорівнювала
2 ⁵/₈
Ответ: 1) q=4;
2) n=3
Проверка:
¹/₈ + ⁴/₈ + ¹⁶/₈ = ²¹/₈ = 2 ⁵/₈
А¹² / а⁷ = а¹²⁻⁷ = <span>а⁵
</span>По свойству степени с целым показателем: a^m / a^n = a^<span>m−n (^ - степень)
Расшифровка формулы: если основания чисел одинаковы, то при делении их показатели вычитаются. </span>
Первое уравнение пока оставляем без изменений. Все числа второго уравнения делим на 3, получаем: 2х+у=3. Выделяем у= 3-2х.
Подставляет это в первое уравнение вместо у. Получаем: 3х-2(3-2х)=8. Решаем: 3х-6+4х=8. Далее 7х=8+6. То есть 7х=14. Таким образом, Х=14/2=7.
Подставляет значение Х равное 7 в уравнение у=3-2х. Получаем: 3-2*2=3-4=-1.
Таким образом, Х=2, у=-1.
-5-6х-16>7х+5х-5
-6х-7х-5х>-5+5+16
-18х>16
х<-16/18
х<-8/9