Вероятно сначала кот ловит мышей, потому что вряд ли мыши по собственной инициативе захотели бы играть с котом. Но для него это возможно и была игра. У любой кошки в какой-то степени сохранился инстинкт, позволяющий ловить мышей, а вот потом они ведут себя по-разному.
Одни играют с мышами, но могут их и выпустить, другие наигравшись, убивют мышь, третьи убивают мышей и приносят их своим хозяевам в подарок, четвертые съедают свою добычу. Кошки могут приносить живую мышь своим котятам, чтобы те научились их потом ловить.
У породистых и сильно одомашненных кошек природные инстинкты могут притупляться, ведь им не надо охотиться, еда всегда насыпана в миску, а ловля мышей у них так, для развлечения, обычно летом на даче. Мои кошки регулярно ловят мышей, играют с ними, иногда отпускают живыми (мыши от них сбегают), кошка недавно начала есть мышей, что меня огорчает.
Вероятно у вашего кота немного притупился инстинкт охотника, поиграв с мышью, он ее относит подальше от дома. Его это развлекает. Вряд ли он это делает осознанно (выпускает на свободу). А может вы не цените подарки вашего кота? Поэтому он и относит их подальше от дома?