На Руси не все дети были одинаково равны. Рождённые в законном браке имели все права, а внебрачные дети вместо прав получали унизительные прозвища, из которых самым распространённым было байстрюк - слово столь же тёмного происхождения, сколь и происхождение многих внебрачных детей. Ссылка ведёт в Словарь синонимов, где любой желающий может ознакомиться с отношением русского народа к результатам своей половой активности за пределами законного брака. Другое популярное слово - ублюдок. На этот раз ссылка приводит в этимологический словарь - происхождение слова известно.
В целом народ проявлял изобретательность - вот список искомых прозвищ из русских народных говоров во всей его наглядности, но отнюдь не претендующий на полноту:
Источник списка здесь. А это исследование утверждает, что в крестьянской среде незаконнорожденных детей рожали преимущественно солдатки - замужние женщины, мужей которых на очень долгий срок государство забирало в армию.
Дворяне в попытке выдать рождённого вне брака ребёнка за сироту, взятого в дом из милости, прибегали к эвфемизму "воспитанник" и "воспитанница" и мучились над решением проблемы, неведомой крестьянам: внебрачное чадо от дворянской плоти и крови по закону не принадлежало ни к какому роду, но нуждалось в фамилии. И здесь уже дворяне проявляли изобретательность, придумывая фамилии, сохраняющие связь ребёнка с родителем. Широко использовались усечение фамилии отца, географические фамилии и создание анаграмм. Примеры и подробности здесь
Случалось и так, что внебрачный ребёнок сам придумывал себе фамилию. Примером может служить Александр Христофорович Востоков, выдающийся русский филолог, значение работ которого переоценить невозможно. Он был внебрачным сыном барона Остен-Сакена и получил придуманную отцом фамилию Остенек (от нем. osten - восток). Отец придумал, как сумел, но обладавшему филологическим чутьем мальчику эта фамилия резала ухо, и он самостоятельно переделал её в Востоков - по смыслу.
Впрочем, бывало и так, что ребёнок получал фамилию приёмного отца или мужа матери, и тогда её не приходилось придумывать.