Question

При каком наибольшем a неравенство (∛tgx−∛сtgx)/(∛sinx+∛cosx))>a/2 выполнено при всех допустимых x∈(3π/2;2π)

Answer 1

Обозначим функцию из левой части равенства как f(x). f(x) определена, если $x\ne 7\pi/4$, при $x=7\pi/4$ обращаются в ноль числитель и знаменатель.

$f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{\mathop{\mathrm{tg}}x}-\sqrt[3]{\mathop{\mathrm{ctg}}x}}{\sqrt[3]{\sin x}+\sqrt[3]{\cos x}}=\dfrac{(\sqrt[3]{\sin x})^2-(\sqrt[3]{\cos x})^2}{\sqrt[3]{\sin x\cos x}(\sqrt[3]{\sin x}+\sqrt[3]{\cos x})}=\\=\dfrac{\sqrt[3]{\sin x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\sqrt[3]{\sin x\cos x}}=\dfrac1{\sqrt[3]{\cos x}}-\dfrac1{\sqrt[3]{\sin x}}=\dfrac1{\sqrt[3]{\cos x}}+\left|\dfrac1{\sqrt[3]{\sin x}}\right|$

Применяем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:
$\dfrac1{\sqrt[3]{\cos x}}+\left|\dfrac1{\sqrt[3]{\sin x}}\right|\geqslant 2\sqrt{\dfrac1{\sqrt[3]{|\sin x|\cos x}}}=\dfrac{2\sqrt[6]{2}}{\sqrt[6]{|\sin 2x|}}\geqslant 2\sqrt[6]2$

Равенство
$\dfrac1{\sqrt[3]{\cos x}}+\left|\dfrac1{\sqrt[3]{\sin x}}\right|=2\sqrt[6]2$
достигается при $x=7\pi/4$, и функция
$g(x)=\dfrac1{\sqrt[3]{\cos x}}+\left|\dfrac1{\sqrt[3]{\sin x}}\right|$
непрерывна в точке $x=7\pi/4$. Значит, при x, близких к $x=7\pi/4$, функция g(x) принимает значения, близкие к $2\sqrt[6]2$, но большие его. При таких x f(x) = g(x), значит, и f(x) принимает такие значения, поэтому неравенство $f(x)\leqslant a/2$ имеет решения при $a/2\ \textgreater \ 2\sqrt[6]2$ и не имеет решений при остальных a.

$\dfrac a2\leqslant 2\sqrt[6]2\\a\leqslant4\sqrt[6]2$

Ответ. $4\sqrt[6]2$