Question

Известно, что функция у=f(x) убывает на R. Решите неравенство
f(|x^2 - 3x +15|) > f(|x^2 - x|)

Пикрелейтед.

Answer 1

Функция убывает на $\mathbb{R}$, следовательно для любых $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ выполняется:
$f(x_1)\ \textgreater \ f(x_2)\Leftrightarrow\ x_1\ \textless \ x_2$
Задача сводится к неравенству:
$|x^2-3x+15|\ \textless \ |x^2-x|$
Левый дискриминант строго меньше нуля, потому, для любого $x\in\mathbb{R}$, выполняется $x^2-3x+15\ \textgreater \ 0$. Значит модуль можно упустить.
Осталось решить:
$x^2-3x+15\ \textless \ |x||x-1|$

Для того, чтоб убрать правый модуль, делим решение на три области:
$x\ \textless \ 0\ |\ 0\leq x\ \textless \ 1\ |\ x\geq 1$
$g(x)=x^2-x$ выпуклая парабола с корнями $\{0,1\}$, потому:
$\forall x\in(-\infty,0]\cup[1,\infty)\ |x^2-x|=(x^2-x) \\ \forall x\in(0,1)\ |x^2-x|=-(x^2-x)$

Решение на области $(-\infty,0]\cup[1,\infty)$:
$x^2-3x+15-x^2+x\ \textless \ 0\\ 2x\ \textgreater \ 15\\ x\ \textgreater \ \frac{15}{2}\ (\frac{15}{2}\ \textgreater \ 1)$

Решение на области $(0,1)$:
 $x^2-3x+15+x^2-x\ \textless \ 0\\ 2x^2-4x+15\ \textless \ 0\\ \Delta\ \textless \ 0 \ \Rightarrow\ \forall x\in(0,1)\ 2x^2-4x+15\ \textgreater \ 0\\ x=\emptyset$
Выпуклая парабола с отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней и всегда больше нуля, потому на области $(0,1)$ неравенство не выполняется.

Итого:
$f(|x^2-3x+15|)\ \textgreater \ f(|x^2-x|)\ \Leftrightarrow\ x\ \textgreater \ \frac{15}{2}$