По причине отсутствия свободных мест действительно могут и имеют право отказать. Дело в том, что школы вполне могут быть переполнены, если семей с детьми рядом со школой живет много. Вам следует обратиться в органы местного самоуправления в сфере образования, в том месте, где вы живет. Вам предложат другое учебное учреждение, где есть свободные места.
Могут принять в любую школу, независимо от места проживания, но в первую очередь возьмут школьников с жительством в районе на котором школа находится. Подайте заявление и ждите результата, чтобы ускорить процесс надо заинтересовать школу в том, что вы выгодный клиент!
В разрешении указывается конкретно страна (страны), период поездки, основание для неё, и с кем едет ребёнок. Если вся эта информация точно известна, то разрешение можно взять в любой момент. Но за пол года трудно не ошибиться. Например будет разрешение по 5е мая, а подвернется путевка по 6е, или типа того...
Я не юрист, но насколько я знаю, пока место жительства ребенка с кем-то из родителей и порядок его встреч с другим родителем не определены судом, оба родителя имеют равные права на него. Каких-то особых законодательных привилегий у матери перед отцом в данном случае нет. Бумаг-подтверждений для поездок по России с одним из родителей, насколько я помню, не требуется.
А вот если судом было определено место жительства с матерью, а отцу была вменена обязанность выплачивать алименты и определен порядок встреч с ребенком, и отец, увезя ребенка, этот порядок нарушил, то мать может потребовать запрета для отца видеться с ребенком. Какое решение примет суд, зависит от обстоятельств. Если мать пьющая, то отец может и выиграть.
Ну оставит мать ребенка отцу, и что она тогда станет делать? Это ж придется своей жизнью заниматься. А ведь мамочка уже привыкла говорить "мы" (мы покушали, мы уже умеем хорошо рисовать). И к тому же, оставила ребенка папе - значит, плохая мать, укатила на юга например, наслаждается жизнью, это ж немыслимо! Да, общественное мнение важнее спокойствия ребенка. Для большинства.
И вряд ли есть какие-то другие объективные причины, кроме озвученных вами.