По гражданским делам в суд можно не являться и без болезней. Достаточно просто указать в иске или в отзыве "прошу рассмотреть дело без моего участия". И, если суд не признает явку обязательной, можно туда не появляться. Собственно, даже без такого заявления можно не появляться, однако не факт, что результаты рассмотрения дела Вас устроят.
Но, это "в общем и целом". Теперь по теме вопроса.
Суд может признать неявку участника уважительной при наличии листка нетрудоспособности. И неважно почему он выдан, по болезни самого участника, или по болезни ребёнка. По сложившейся практике участник, который не может явиться в суд по болезни заранее пишет судье Заявление о переносе судебного разбирательства на другой день. Копия больничного, естественно, прилагается. Но, против такого переноса может возражать другая сторона.
Так, что все это достаточно зыбко.
Поэтому, если исход дела для Вас важен лучше лично в нём поучаствовать.
Полагаю, что найти няню на один день несложно.