Question

Решите квадратное уравнение с комплексным неизвестным

Answer 1

Решите квадратное уравнение с комплексным неизвестным
z⁶ =1   
Решение :  z =a+i*b   ,  i =√-1   _мнимое число
* * *  тригонометрический вид комплексного числа z =r(cosφ+i*cosφ)  * * *
z⁶ =cos2πn +i *sin2πn ;   
z =cos2πn/6  +i sin2πn/6 = cos( πn/3 ) +i sin( πn/3)  .
z₁ =cos(π/3 ) +i sin( π/3) = 1/2   +i √3 /2 ;
z₂ =cos(2π/3 ) +i sin( 2π/3) =  - 1/2   +i √3 /2  ;
z₃ =cosπ +i sinπ  = -1 ;
z₄ =cos(4π/3) +i sin(4π/3)  = -1/2 - i√3 /2 ;
z₅ =cos(5π/3) +i sin(5π/3)  = 1/2 - i√3 /2 ;     ₄  ₅  ₆  ₇  
z₆ =cos2π +i sin2π =1  
----------------------------------------------------
 z₇ - cos(7π/3) +i sin(7π/3) = 1/2 +i√3 /2 _повторяются
....

* * * * * * *   " ШКОЛЬНЫЙ (более доступный )  ВАРИАНТ "  * * * * * *
z⁶ =1   ;
(z³)²- 1 = 0 ⇔(z³ -1)(z³+1)  =0⇔ (z -1)(z²+z+1)(z+1)(z² -z +1) =0 ;
* * *можно было и так (z²)³ -1=0⇔( z²  -1) (z⁴+z²+1) =0  ...* * *
(z -1)(z+1) (z²+z+1)(z² -z +1) =0 ;  
z -1 =0  ⇒  z=1 ;
z+1 =0  ⇒  z= -1 ;
z²+z+1 = 0 ⇒z = (-1±i√3)/2 = -1/2  ± i√3)/2 ; || D =√((-1)²-4*1*1) =√(-3) =i√3||
z² -z +1 =0 ⇒z =( 1 ± i√3)/2  =1/2 ± i√3)/2 .