Обязанность - это пункт договора. Любого, хоть устного, хоть незаконного, хоть государственного, любого.
Ответственность - это мера наказания за несоблюдение обязанностей.
<hr />
Из википедии аналогичные определения, но более сложные:
(да, есть и духовные определения, но они неконкретные. А эти определения совершенно конкретны т точны)
Обязанность - Круг действий, возложенных на кого нибудь и безусловных для выполнения
Ответственность - Определенный уровень негативных последствий для субъекта в случае нарушения им установленных требований. По характеру санкций за совершаемые действия выделяют следующие виды ответственности: юридическую, материальную, моральную, политическую и др
<hr />
ПС: то что написано в других ответах - это феерично и феноменально. Отлично показывает, что у большинства народа нету точных и не противоречивых определений простых слов. Иначе говоря "с большинством людей невозможно вести разумный диалог в силу того, что они не знают смысла даже тех слов, которые они используют".