Question

Какая вероятность вып любого числа из бесконечного множ других чисел?

Представим рулетку с бесконечным количеством чисел. Какова вероятность того, что выпадет двойка или любое другое случайное число? Вероятность будет бесконечно стремится к нулю? Если это так, то какова вероятность того, что двойка выпадет нам 2 раза подряд, 3 раза? Вероятность будет равна по-прежнему бесконечно малому числу стремящемуся к нулю? Возможно ли это? Как? Почему? Или одно бесконечно малое стремящееся к нулю число может быть меньше другого бесконечно малого стремящегося к нулю числа? Ведь вероятность должна неизбежно уменьшится, и если мы возьмем обычную монету и подбросим её, то вероятность выпадения решки 1/2. Вероятность выпадения решки два раза подряд 1/4, 3 раза подряд ещё меньше и так далее. Вероятность в данном примере различается, но может ли различаться вероятность в примере с рулеткой? Ведь в моём понимании не может быть бесконечно малого числа, которое будет ещё меньше другого бесконечно малого числа. Или может?

Answer 1

Парадокса тут никакого нет. Да, вероятность выбора какого-то ОПРЕДЕЛЁННОГО числа из БЕСКОНЕЧНОГО набора чисел равна нулю, или, говоря строже, является бесконечно малой величиной. Но сравнивать друг с другом можно и бесконечно малые величины, в математике жто используется очень даже часто. Например, в теории пределов (её даже в обычных институтах проходят) есть такое понятие - раскрытие неопределённости. Это задачка как раз типа "какой из двух нулей меньше - этот или вот этот". Решается она просто - к чему стремится ОТНОШЕНИЕ этих двух величин.

В рассматриваемом случае ответ вполне очевиден - отношение вероятности выпадения двойки два раза подряд к вероятности выбрать именно двойку, очевидно, стремится к 0 по мере стремления набора чисел к бесконечности (нам придётся рассматривать отношение 1/N к 1/N² при N→∞), фигня вопрос.

Answer 2

Автор данного вопроса вообще затронул интересные проблемы нескольких разделов математики таких как теория вероятностей и теория множеств..

Во-первых как не покажется странным, но есть бесконечные множества, которые больше других бесконечных множеств..

Например количество чётных чисел несомненно бесконечно, но оно меньше, чем количество натуральных чисел..

Количество точек в квадрате бесконечно, но оно меньше, чем в кубе..

И чтобы сравнивать подобные множества ввели понятие мощности множества, так что мощность множества натуральных чисел больше мощности множества чётных чисел..

А вот множества точек в квадрате и круге равномощны..

А вот насчёт того, что можно с одинаковой долей вероятности получать числа от начала (например 0) до бесконечности - здесь уже доказывается, что необходимо данной системе иметь бесконечную мощность, действительно если некий сигнал в определённый момент времени может стать бесконечным, то значит мощность источника - бесконечна.. Для того, чтобы мощность была конечна, то вероятность выборки бесконечного числа равна нулю..

Ну и наконец есть такая в теории множеств аксиома выбора, просто говоря в ней говорится, что можно наобум выбрать из множества множеств по элементику и применяя её можно достичь т.н. парадокса Барнаха-Тарского, который заключается в том, что из одного шара, разрезав его и сдвигая части можно получить два таких же равновеликих шара:))))

Т.е. отсюда следует, что свобода выбора ограничена..

Answer 3

Для подобных вычислений используется математический аппарат, называе мый правилом раскрытия неопределённости.

Но с точки зрения алгебры деление на бесконечность даёт не бесконечно малую, а именно что ноль в самом чистом виде. В пределе. Потому как бесконечность это всё-таки не совсем чис

Answer 4

Вот и представьте. И поймите, что ее быть не может. Поэтому и ваш вопрос смысла не имеет.

Попробуйте придумать реальный механизм получения случайного числа из такой вот "бесконечной рулетки". Подобные "парадоксы" разбиваются на корню, когда мы от слов переходим к делу.

Answer 5

Я тебя удивлю - даже на обычной рулетке с 37 ячейками (36 + зеро) вероятность выпадения 2, 3, 4 и т.д. одинаковых чисел подряд стремится к 0. И чем больше бросков, тем ближе вероятность к 0.

Например, вероятность, что выпадет 2, равна 1/37. Вероятность, что выпадет две 2 подряд, равна (1/37)^2 = 1/1369.

Вероятность выпадения n раз подряд одного и того же числа, равна (1/37)^n.

Answer 6

Вероятность, что выпадет двойка будет 1/бесконечность (1 поделить на бесконечность).

Вероятность, что двойка выпадет 2 раза подряд будет 1/(бесконечность в квадрате).