В математике различные математические понятия принято обозначать с помощью символов. Это повелось ещё с древнейших времён, когда люди пытались с помощью символов выражать свои мысли. Например, в Древнем Египте с помощью символов-иероглифов обзозначали различные понятия, предметы и действия. Безусловно, что символьная запись своих мыслей есть результат развития абстрактного мышления людей в процессе развития материальной культуры и усложнения социальных отношений. Т.е. это не чья-то прихоть, а естественный исторический процесс. Замечание полностью относится и к развитию математического мышления. Самый первый акт символической записи абстрактного математического понятия - это изобретение цифр и создание числовых систем счисления. Но задолго до появления цифр абстрактное мышление людей оттачивалось в художественном творчестве и знакомстве со свойствами простейших геометрических фигур. Величайшим изобретением стало создание алгебры, в которой действия над числами стали заменять действиями над символами, что позволило устанавливать общие математические закономерности. В дальнейшем буквами стали обозначать и более сложные понятия, чем числа: например векторы, матрицы и другие абстрактные объекты, созданные умом человека. Эти записи действий над символами стали называть выражениями. Особенность любого выражения заключается в том, что после замены символов на их конкретные значения (не обязательно числовые) после выполнения всех действий получается также конкретное значение - чаще всего того же рода, но иногда и совсем другой природы (например, при скалярном умножении векторов получаются числа). Для удобства сравнения значений выражений придумали равенства выражений. Над этими равенствами, впрочем, можно производить различные действия. Равенство само по себе означает формальную запись двух выражений в виде привычного равенства A=B, где А и B - выражения. Если придавать конкретные значения буквам (из которых состоят выражения и само равенство), то можно получить или верное равенство значений, полученных после выполнения всех действий, или равенство неверное. Существует большое количество (более точно - бесконечное количество) выражений, которые принимают всегда равные значения, какие бы допустимые значения не принимали входящие в эти выражения буквы. О таких выражениях, всегда принимающих равные значения, стали говорить, что они тождественные, а само равенство тождественных выражений назвали тождеством. Поэтому в самом общем случае равенство - это формальная запись равенства любых двух выражений, а тождество - это равенство двух тождественных выражений. Говорят также, что тождество - это равенство, обращающееся в верное равенство (например числовое) при любых значениях букв из указанного множества их значений (чаще всего - из множества допустимых значений). В формально-логическом смысле, тождество - это вид тавтологии. Понятно, что все тождества - одновременно равенства. Но не все равенства - это тождества.
Примеры равенств, которые не являются тождествами:
|a|=-a*b, 1=1-a, 2x-2=1 sinx-cosx=tgx
Примеры равенств, которые являются тождествами:
|a|=√(a^2); t-u=-(u-t); (x-y)^3=x^3-3*x^2*y+<wbr />3*x*y^2-y^3;
(sinx)^2+(cosx)^2=1 и i^2=-1 - тоже тождества, хотя правые выражения и не содержат букв (говорят, что буквы содержатся фиктивно), но всегда имеют одни и то же значения 1 и -1.
с^2=a^2+b^2 тождество при условии, что допустимые значения букв - это длины соответсвенно гипотенузы и катетов произвольного прямоугольного треугольника.
a*0=b*0 (хотя выражения состоят и из различных букв, но принимают одинаковое значение 0)
Любое верное числовое равенство тоже можно рассматривать, как тождество. Например, 2+(-2)=0 - тождество.
Стоит отметить, что одно и то же равенство может быть тождеством, если его рассматривать над одним множеством значений букв, или им не быть, если выбрать другое множество значений букв. Например, уравнение - чаще всего не тождество, но если его рассматривать над множеством своих корней, то его можно считать тождеством на этом выбранном множестве значений переменных))
