Question

Какое наименьшее значение может принимать значение: sin^6x+cos^6x

Answer 1

Преобразуем выражение:
$y=sin^6x+cos^6x=(sin^2x)^3+(cos^2x)^3= \\ =(sin^2x+cos^2)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)=\\ =(sin^2x+cos^2x)^2-3sin^2xcos^2x=1- \frac{3}{4} sin^22x=\\ =1- \frac{3}{8} (1-cos4x)=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}cos4x.$
Оценим новое выражение
$-1 \leq cos4x \leq 1 \\ -\frac{3}{8} \leq \frac{3}{8}cos4x \leq \frac{3}{8}\\ \frac{5}{8} -\frac{3}{8} \leq \frac{5}{8} + \frac{3}{8}cos4x \leq \frac{5}{8} +\frac{3}{8}\\ \frac{1}{4} \leq y \leq 1$
Из последнего неравенства следует, что исходное выражение может принимать наименьшее значение, равное $\frac{1}{4}$ = 0,25.