Question

Число n = 22...22, записанное с помощью только двоек, делится на 99 без остатка. Найдите наименьшее число цифр в числе n.

Answer 1

Ответ: 18 двоек

99 разложим как 9*11
Наше число должно делится на 9 и 11, тогда оно будет делится на 99

Признаки делимости:
1) на 9 - делятся числа, если сумма цифр делится на 9...
В нашем случае это должно быть 9 двоек или 18 двоек или 27 двоек и т.д.
2) на 11 - делятся числа у которых сумма цифр стоящих на чётных позициях должна быть равна сумме цифр стоящих на нечётных позициях...
Т.К. у нас одни двойки, то их количество должно быть чётным.
Объединяем два ответа: 18 двоек

Answer 2

Число n должно делиться на 99
99 = 9•11
Следовательно, число n должно делиться одновременно на 9 и на 11.
Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма цифр, которыми записано число, делится на 9.
Признак делимости на 11: на 11 делятся числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11
Возьмет число, состоящее из 18 двоек.
Сумма цифр в таком числе 18•2=36, она делится на 9
В то же время в этом числе количество двоек, стоящих на четных и нечетных местах одинаковое, следовательно, и суммы их равны.
Значит число
n=222222222222222222,
Состоящее из 18 двоек