Question

По наклонной плоскости опускаются два одинаковых сплошных цилиндра, причем первый из них скользит без трения, а второй катится без скольжения. Найти отношение высот, на которые опустятся оба цилиндра по истечении некоторого промежутка времени, если оба начинают движение одновременно и без начальной скорости.

Answer 1

Кинетическая энергия движения цилиндра, двигающегося со скоростью V без трения (а значит, у него НЕ может возникнуть и вращение)

E1 = mV²/2 ;

Она перейдёт из потенциальной:

mV²/2 = mgH ;

V² = 2gH ;

Vy = Vsinφ , где φ – угол наклона плоскости;

(Vy/sinφ)² = 2gH ;

(Vy²)' = (2gH)'sin²φ , так как sinφ = const ;

2 Vy Vy' = 2g H' sin²φ ;

Vy Vy' = g Vy sin²φ ;

ay = g sin²φ = const ;

Итак, движение равноускоренное без начальной скорости:

H = ayt²/2 = g sin²φ t²/2 = g(tsinφ)²/2 ;




Кинетическая энергия вращения катящегося со скоростью v без проскальзывания цилиндра:

Eв = Jω²/2 = mR²/2 (v/R)²/2 = mv²/4 ;

Полная кинетическая энергия вращающегося цилиндра:

E2 = mv²/2 + Jω²/2 = mv²/2 + mv²/4 = 3mv²/4 ;

3mv²/4 = mgh ;

v² = [4/3] gh ;

vy = vsinφ ;

(vy/sinφ)² = [4/3] gh ;

(vy²)' = [4/3] (gh)'sin²φ ;

2 vy vy' = [4/3] g h' sin²φ ;

vy vy' = [2/3] g vy sin²φ ;

ay = [2/3] g sin²φ = const ;

Итак, движение тоже равноускоренное без начальной скорости:

h = ayt²/2 = [2/3] g sin²φ t²/2 = g(tsinφ)²/3 ;



Отношение:

H/h = [g(tsinφ)²/2] / [g(tsinφ)²/3] = 1.5 ;


ОТВЕТ: скользящий без вращения цилиндр опустится за то же время на высоту в 1.5 ниже, чем вращающийся цилиндр.