Существует!
степень натурального числа является натуральным числом.
пример подходящего числа:
![a=2^{105}* 3^{140}* 5^{84}*7^{90} 2a = 2^{106}* 3^{140}* 5^{84}*7^{90}; \sqrt{2a} = 2^{53}* 3^{70}* 5^{42}*7^{45} 3a = 2^{105}* 3^{141}* 5^{84}*7^{90}; \sqrt[3]{3a}=2^{35}* 3^{47}* 5^{28}*7^{30} 5a = 2^{105}* 3^{140}* 5^{85}*7^{90}; \sqrt[5]{5a} = 2^{21}* 3^{28}* 5^{17}*7^{18} 7a = 2^{105}* 3^{140}* 5^{84}*7^{91}; \sqrt[7]{7a} = 2^{15}* 3^{20}* 5^{12}*7^{13}](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D2%5E%7B105%7D%2A+3%5E%7B140%7D%2A+5%5E%7B84%7D%2A7%5E%7B90%7D%0A%0A2a+%3D+2%5E%7B106%7D%2A+3%5E%7B140%7D%2A+5%5E%7B84%7D%2A7%5E%7B90%7D%3B++%5Csqrt%7B2a%7D+%3D+2%5E%7B53%7D%2A+3%5E%7B70%7D%2A+5%5E%7B42%7D%2A7%5E%7B45%7D%0A%0A3a+%3D+2%5E%7B105%7D%2A+3%5E%7B141%7D%2A+5%5E%7B84%7D%2A7%5E%7B90%7D%3B++%5Csqrt%5B3%5D%7B3a%7D%3D2%5E%7B35%7D%2A+3%5E%7B47%7D%2A+5%5E%7B28%7D%2A7%5E%7B30%7D%0A%0A5a+%3D+2%5E%7B105%7D%2A+3%5E%7B140%7D%2A+5%5E%7B85%7D%2A7%5E%7B90%7D%3B++%5Csqrt%5B5%5D%7B5a%7D+%3D+2%5E%7B21%7D%2A+3%5E%7B28%7D%2A+5%5E%7B17%7D%2A7%5E%7B18%7D%0A%0A7a+%3D+2%5E%7B105%7D%2A+3%5E%7B140%7D%2A+5%5E%7B84%7D%2A7%5E%7B91%7D%3B++%5Csqrt%5B7%5D%7B7a%7D+%3D+2%5E%7B15%7D%2A+3%5E%7B20%7D%2A+5%5E%7B12%7D%2A7%5E%7B13%7D++)
объяснение:
1. при умножении числа на 2 должен извлекаться квадрат, значит, в число входит 2 в нечетной степени, 3 в четной, 5 в четной, 7 в четной.
2. степень двойки должна делиться на 3,5,7
3. степень тройки должна делиться на 2,5,7 и при прибавлении к ней одного должна делиться на 3
4. степень пятерки должна делиться на 2,3,7 и при прибавлении к ней одного должна делиться на 5
5. степень семерки должна делиться на 2,3,5 и при прибавлении к ней одного должна делиться на 7
такое число не единственно!