Дана <span>правильная четырехугольная пирамида SАВСД, длина бокового ребра которой равна L = 3 см, а стороны основания a = 2√3 см.
Проведём осевое сечение через 2 боковых ребра.
В сечении равнобедренный треугольник АSС с боковыми сторонами </span>L = 3 см и основанием - диагональ квадрата основания d = a√2 = (2√3)*√3 = 2√6 см.
Высота Н пирамиды равна:
Н = √(L² - (d/2)²) = √(9 - 6) = √3 см.
Перпендикуляр из центра основания пирамиды на боковое ребро (пусть это ОК) - это высота треугольника ОSС, она равна (√3*√6)/3 = √2 см.
Искомый угол лежит в перпендикулярном сечении к боковому ребру.
В сечении - треугольник ВКД.
Апофема А = √(3² - (2√3/2)²) = √(9 - 6) = √3 см.
КД - высота, она равна 2S/L = (2*((1/2)*2√3*√6))/3 = 2√2 см.
То есть она как гипотенуза треугольника ОКД в 2 раза больше катета ОК, а угол КДО равен 30 градусов.
Отсюда искомый угол ВКД равен 2*60 = 120 градусов.
Диагонали граней делят их на треугольники, основанием которых являются эти диагонали, а боковыми сторонами - половины ребер.
Стороны сечения - срединные линии таких треугольников и потому равны половине диагонали.
Каждая сторона равна 10:2=5 см.
Периметр сечения
Р=3*5-15 см
Для наглядности дан рисунок во вложении.
Поскольку треугольники подобны, то для А1В1С1 отношение сторон будет таким же: 3:5:6
А1В1 : В1С1 : А1С1 = 3 : 5 : 6
Зная разность сторон, запишем:
А1С1=9+А1В1.
А1В1 : А1С1 = 3 : 6
А1В1 : (9+А1В1)= 3 : 6
6А1В1 = 27 + 3А1В1
3А1В1=27
А1В1=9 см
Значит А1С1=9+9=18 см
Найдем неизвестную сторону В1С1:
А1В1 : В1С1 = 3 : 5
В1С1 = 9*5:3=15 см<span>
</span>
Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна = > эта сторона равна 2*10 = 20см
Площадь треугольника равна полупроизведению высоты на сторону = 20*11/2 = 110см^2
Ответ: 110 см^2
