Question

Помогите пожалуйста. Нужно исследовать функцию и сделать чертеж. 2x^3+15x^2+36x+32 1) Найти область определения 2) чётность, нечётность функции. 3) порядочность функции. 4) интервалы монотонности и точки экстремума 5) интервалы выпуклой и вогнутой, точки перегиба 6) асимптоты графика функции 7) точки пересечения с осями 8) построение графика функции

Answer 1

Дана  функция y = 2x³+15x²+36x+32.
1) Найти область определения - нет ограничений: х ∈ R.
2) чётность, нечётность функции.
f(x) = 2x³+15x²+36x+32,
f(-x) = 2(-x)³ + 15(-x)² + 36(-x) + 32 = -2x³ + 15x² - 36x + 32   f(x) ≠ f(-x).
f(-x) =  -2x³ + 15x² - 36x + 32 = -(2x³ - 15x² + 36x - 32)   f(x) ≠ -f(-x).
Значит, функция не чётная и не нечётная.
3) порядочность функции - а что это за термин???.
4) интервалы монотонности и точки экстремума.
Находим производную функции:
y' = 6x²+30x+36 и приравниваем нулю:
 6x²+30x+36 = 0, сокращаем на 6:  x²+5x+6 = 0.
Находим критические точки, решая это уравнение.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=5^2-4*1*6=25-4*6=25-24=1;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=√1-5)/(2*1)=(1-5)/2=-4/2=-2;x_2=(-√1-5)/(2*1)=(-1-5)/2=-6/2=-3.
Определяем знаки производной в полученных трёх промежутках:
x =   -4    -3     -2,5     -2      -1
y' = 12     0     -1,5      0       12.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
 - возрастает: х ∈ (-∞; -3) ∪ (-2; +∞),
 - убывает: х ∈ (-3; -2),
 - максимум: х = -3,
 - минимум: х = -2.
5) интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Находим вторую производную:
y'' = 12x+30  и приравниваем нулю:
12х + 30 = 0,
х = -30/12 = -15/6 ≈ -2,5  это точка перегиба функции.
Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.
x =    -3     -2,5     -2
y'' =  -6       0         6.
график функции выпуклый: х ∈ (-2,5; ∞),
график функции вогнутый: х ∈ (-∞; -2,5).
6) асимптоты графика функции - нет.
7) точки пересечения с осями/
Ось Ох пересекается при х = -4.
Ось Оу - при х = 0 надо подставить и высчитать.
 8) построение графика функции