Question

1.Найдите наименьшее положительное число X , обладающее следующими свойствами:
А) X равен дроби числитель и знаменатель которой – двузначные числа:
Б) если числитель этой дроби уменьшить на единицу а знаменатель удвоить то дробь станет равной 1/11.
В ответе укажите сумму числителя и знаменателя полученной дроби X .
2.Катя раскладывает конфеты по кучкам : в первую она положила две конфеты во вторую – три конфеты и так далее т.е в каждую следующую кучку она клала на одну конфету больше чем в предыдущую .При этом в последнюю кучку она положила ровно 1/32 часть всех своих конфет а остальные конфеты положила в коробку .Сколько было у Кати кучек и сколько конфет если общее количество кучек и конфет было равно 2012?
3.Три числа в сумме дают 100.Найдите эти числа если известно что первое при делении на третье дает в частном 3 и в остатке 7 а второе при делении на третье дает в частном 2 и в остатке 3 .
В ответе запиши три полученных числа в порядке возрастания.
4.Сторона выпуклого четырехугольника в два раза больше противоположной стороны этого четырехугольника. Каждая из диагоналей четырехугольника перпендикулярна одной из двух других его сторон . Найдите угол между диагоналями четырехугольника.
5.На некотором острове имеющем форму треугольника расположены три государства столицы этих государств находятся в вершинах треугольника.Территория острова распределена следующим образом : точка острова принадлежит тому государству к столице которого она ближе всего находится. Если точка расположена на одинаковом расстоянии от двух столиц то она принадлежит границе этих государств . Каким должен быть треугольник изображающий остров чтобы какие либо два из государств не имели общих границ ?
а ) тупоугольный. б)остроугольный
в ) прямоугольный г) равносторонний

Answer 1

1) Дробь X = m/n
(m - 1)/(2n) = 1/11
Из свойства пропорции получаем
11(m-1) = 2n
m - двузначное и (m-1) - четное, потому что 11 - нечетное.
Значит, m - нечетное. И n делится на 11.
Минимальное m = 11
(m-1)/(2n) = 10/(2n) = 1/11
2n = 11*10 = 110, n = 55
Тогда X = 11/55 = 1/5, а Х должно быть несократимо.
Пусть m = 13, тогда
(m-1)/(2n) = 12/(2n) = 1/11
2n = 11*12 = 132, n = 66
X = 13/66
Ответ: 13+66 = 79

2) Про Катю я уже решал. Кучек 60, конфет 1952.
У Кати всего N конфет - неизвестно, сколько.
В кучках у неё арифметическая прогрессия. a1 = 2; d = 1.
В последней n-ной кучке a(n) = a1+d(n-1) = 2+1(n-1) = n+1
И это 1/32 часть всех конфет. n+1 = N/32.
Общее количество кучек и конфет N + n = 2012.
Получаем систему
{ N = 32(n + 1) = 32n + 32
{ N + n = 32n + 32 + n = 33n + 32 = 2012
n = (2012 - 32)/33 = 1980/33 = 60 - кучек.
N = 32n + 32 = 32*60 + 32 = 1952 - конфет.

3) Числа a, b, c.
a = 3c + 7; b = 2c + 3
a + b + c = 3c + 7 + 2c + 3 + c = 100
6c + 10 = 100
c = 90/6 = 15; a = 3*15 + 7 = 52; b = 2*15 + 3 = 33

4) Не знаю.

5) Чтобы два государства не имели общей границы, одно должно находиться сежду двух других.
Для этого две стороны острова должны быть как можно ближе друг к другу. Треугольник должен быть тупоугольным.
Границы проходят по серединным перпендикулярам к отрезкам, соединяющим столицы.