Как тут уже написали, управляющая компания права в том смысле, что и балкон, и козырек над ним являются Вашей собственностью, поэтому затраты на их содержание Вы должны нести сами. А вот крыша дома - собственность общая и расходы на её ремонт раскидыввются на всех собственников помещений в этом доме, включая и первый этаж, который обычно занимают нежилые помещения.
Более того, в ежемесячной платежке, которую Вам приносят, должна быть графа "Капитальный ремонт". Коль скоро Вы выполнили ремонт части крыши своими силами, то вправе не платить сборы на капремонт в пределах фактически потраченной Вами суммы - для этого нужно будет прийти в УК с документами о приобретении материалов и объеме выполненных работ (расценки на них известны и должны быть в той же УК). После чего Вам нужно будет договориться с УК, чтобы они согласовали сумму фактически понесенных Вами расходов на ремонт общедомовой собственности (части крыши), приняли эти работы по Акту приема-передачи выполненных работ и списали согласованную сумму с Ваших платежей по статье "Капитальный ремонт". Если УК откажется это делать, то Вы вправе платить по выставляемым квитанциям меньше, а в случае претензий со стороны УК посоветовать последней взыскать спорные суммы в суде, где изложите суть дела с предоставлением документов.
Конечно, желательно, чтобы у Вас остались копии письменных обращений в УК с просьбой о ремонте крыши, фотоматериалы о состоянии крыши до ремонта и после, а также последствия затопления Вашей квартиры. Это существенно облегчит отстаивание Ваших позиций в суде.