Чтобы верно написать слово "беспрепятственно", вспомним его происхождение - это наречие (или краткое прилагательное).
Разбираем слово "препятствие" по составу и видим, что корнем будет "препрятств", а приставкой "бес". В приставке последняя согласная "с", а не "з", потому что находится перед глухой согласной, потому что корень начинается с глухой согласной.
Проверим "е" в корне, в этом случае "пре" не выделяется, как приставка. Если бы "пре" была приставкой, то однозначно "пре", а не "при", потому что придается значение "пере-", потому что препятствие преодолевают, переходят.
Относительно "я" нет сомнений, так как эта гласная в корне под ударением.
Суффикс в данном случае "енн", поэтому пишем там "е", а не "и".
Слово происходит от прилагательного "беспрепятственный" (беспрепятственно краткая фрма) с суффиксом "енн", поэтому пишем удвоенную "н".