Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции — то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.
<span>Основное тригонометрическое тождество. Для любого угла α верно утверждение:sin2 α + cos2 α = 1.</span>
Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус — и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:
Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат — четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).
Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.
Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:
Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:
Эти уравнения легко выводятся из основного тождества — достаточно разделить обе стороны <span>на cos2 α</span> (для получения тангенса) <span>или на sin2 α</span>(для котангенса).
Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.
Задача. Найдите sin α, если известно следующее:
Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:
sin2 α + cos2 α = 1 ⇒ <span>sin2 α + 99/100 = 1 ⇒</span> <span>sin2 α = 1/100 ⇒</span><span>sin α = ±1/10 = ±0,1.</span>
Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол <span>α ∈ (π/2; π),</span> то в градусной мере это записывается так: <span>α ∈ (90°; 180°).</span>
Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти — все синусы там положительны. Поэтому <span>sin α = 0,1.</span>
Задача. Найдите cos α, если известно следующее:
Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:
sin2 α + cos2 α = 1 ⇒ <span>3/4 + cos2 α = 1 ⇒</span> <span>cos2 α = 1/4 ⇒</span> <span>cos α = ±1/2 = ±0,5.</span>
Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, <span>угол α</span> принадлежит промежутку <span>(π 3π/2).</span> Переведем углы из радианной меры в градусную — получим: <span>α ∈ (180°; 270°).</span>
Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому <span>cos α = −0,5.</span>
Задача. Найдите tg α, если известно следующее:
Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:
Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем <span>по углу α.</span> Известно, <span>что α ∈ (3π/2; 2π).</span> Переведем углы из радианной меры в градусную — получим <span>α ∈ (270°; 360°).</span>
Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому <span>tg α = −3.</span>
Задача. Найдите cos α, если известно следующее:
Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:
sin2 α + cos2 α = 1 ⇒ <span>0,64 + cos2 α = 1 ⇒</span> <span>cos2 α = 0,36 ⇒</span> <span>cos α = ±0,6.</span>
Знак определяем по углу. Имеем: <span>α ∈ (3π/2; 2π).</span> Переведем углы из градусной меры в радианную: <span>α ∈ (270°; 360°) —</span> это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно, <span>cos α = 0,6.</span>
Задача. Найдите sin α, если известно следующее:
Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:
Отсюда получаем, что sin2 α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол <span>α ∈ (0; π/2).</span> В градусной мере это записывается так: <span>α ∈ (0°; 90°) —</span> I координатная четверть.
Итак, угол находится в I координатной четверти — все тригонометрические функции там положительны, поэтому <span>sin α = 0,2.</span>
