5. ΔABC прямоугольный: ∠BAC = 90°; AC=30 см; KC=18 см
AK⊥BC - высота прямоугольного треугольника делит ΔABC на два подобных, которые подобны ему самому ⇒
ΔABC ~ ΔKAC ⇒
По теореме Пифагора
AB² = BC² - AC² = 50² - 30² = 1600
AB = √1600 = 40 см
Ответ: Гипотенуза 50 см, катеты 30 см и 40 см
6. Пропорциональность пересекающихся хорд
AM*MB = CM*MD
MB = CM*MD/AM = 8*9/6 = 12 см
AB = AM + MB = 6+12 = 18 см
7. Трапеция ABCD: BC║AD; AB = CD = 50+8 = 58 см;
AK=FD = 50 см: KB=CF = 8 см;
Каждая сторона трапеции - касательная к вписанной окружности.
По свойству касательных, проведенных из одной точки
KB=BM = 8 см; MC=CF = 8 см ⇒ BC=BM+MC=16 см
AK=AN = 50 см; FD=ND = 50 см ⇒ AD=AN+ND=100 см
Построить в трапеции высоты BH⊥AD и CG⊥AD
HG = BC = 16 см
AH = DG = (AD-HG)/2 = (100 - 16)/2 = 42 см
ΔABH прямоугольный: ∠AHB = 90°. Теорема Пифагора
BH² = AB² - AH² = 58² - 42² = (58-42)(58+42) = 1600
BH = √1600 = 40 см
Высота трапеции является диаметром вписанной окружности ⇒
радиус вписанной окружности R = BH/2 = 40/2 = 20 см
Ответ: радиус вписанной окружности 40 см;
основания трапеции 100 см и 16 см