Question

Пожалуйста!1)исследователь на сходимость с помощью признака Даламбера.
2)исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница.
3) найти радиус сходимости степенного ряда и опр. тип сходимости.

Answer 1

$1)\; \; \sum \limits _{n-1}^{\infty } \frac{8^{n}}{n^2+1}\\\\ \lim\limits _{n \to \infty}\frac{8^{n+1}}{(n+1)^2+1}: \frac{8^{n}}{n^2+1}= \lim\limits _{n \to \infty} \frac{8^{n+1}\cdot (n^2+1)}{(n^2+2n+2)\cdot 8^{n}} =8\ \textgreater \ 1\; ,\\\\ryad\; rasxoditsya\\\\2)\; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{n}{n^2+3}\\\\a)\; \; \lim\limits _{n \to \infty}| a_n|= \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{n^2+3}=0\\\\b)\; \; |a_1|\ \textgreater \ |a_2|\ \textgreater \ ...\ \textgreater \ |a_{n}|\ \textgreater \ ...\\\\\frac{1}{4}\ \textless \ \frac{2}{7} \ \textgreater \ \frac{3}{12}\ \textgreater \ \frac{5}{28}\ \textgreater \ ...$

Члены ряда,начиная со 2-го, убывают по модулю.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Проверим сходимость ряда из модулей:   $|a_{n}|= \frac{n}{n^2+3}$  .

Сравним этот ряд с расходящимся гармоническим рядом  $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$  .

$\lim\limits _{n \to \infty}\frac{|a_{n}|}{b_{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{n}{n^2+3}:\frac{1}{n}= \lim\limits _{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+3}=1\ \textgreater \ 0\; \; \Rightarrow$

оба ряда расходятся
Значит, исходный знакочередующийся ряд сходится условно.

$3)\; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty } \frac{x^{n}}{n\cdot 7^{n+1}}\\\\ \lim\limits _{n \to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)\cdot 7^{n+2}}\cdot \frac{n\cdot 7^{n+1}}{|x|^{n}}=\frac{|x|}{7}\ \textless \ 1\; \; \to \; \; |x|\ \textless \ 7\\\\-7\ \textless \ x\ \textless \ 7\; \; \Rightarrow \; \; \; R=7\\\\x=7:\; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty } \frac{7^{n}}{n\cdot 7^{n+1}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{7n}\; -\; rasxoditsya\\\\x=-7:\; \; \sum \limits _{n-1}^{\infty }\frac{(-7)^{n}}{n\cdot 7^{n+1}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{7n}$

Это условно сходящийся ряд (по признаку Лейбница ряд сходится).
Область сходимости:  $x\in [-7,7)\; .$