Question

Найдите максимальное значение выражения а2+в2, если известно, что а2+в2+ав=а+в

Answer 1

A²+b²+ab=a+b
Пусть
a+b=t
Возведем обе части в квадрат
a²+2ab+b²=t²
Выразим
a²+b²+ab=t²-ab
и
по условию
a²+b²+ab=t
Приравниваем правые части
t²-ab=t  ⇒ab=t²-t  значит

a²+b²=t-ab
a²+b²=t-t²+t
a²+b²=2t-t²
Квадратный трехчлен
2t-t² принимает наибольшее значение в точке t=1
t=1 - абсцисса вершины параболы.

При t=1  2t-t²=2*1-1²=2-1=1

О т в е т.максимальное значение выражения а²+b² при a²+b²+ab=a+b равно 1.