Question

Почему бросание иголки на параллельные линии дает число «пи»?

Если на листе бумаги начертить параллельные линии, а потом бросать случайным образом на лист иголку, длина которой равна расстоянию между линиями, то отношение общего числа бросков к числу бросков, при которых иголка пересекла линию, равно 2/π. И чем больше бросков, тем точнее получится значение π. Какое отношение имеет иголка к числу π?

Answer 1

Пусть длина иголки L, тогда если иголка будет целиком лежать в вписанном между этими параллельными линиями круге диаметром L, то она не будет пересекать ни одну линию. Площадь такого круга равна π*((L/2) ** 2).

Если же иголка не попадает целиком в этот круг, то она непременно пересечёт какую-то из параллельных линий.

Рассмотрим для простоты всего две параллельные прямые AB и CD, а 'ящик' куда будем кидать иголки ограничим прямоугольником EFHG, сс сторонами L и (2*L). Его площадь 2*(L**2). Тогда площадь той фигуры, куда иголка, будучи брошенной, непременно пересечёт одну из параллельных линий, будет равна

(2*(L ** 2)) - (π*((L/2) ** 2)), а отношение всей площади этого прямоугольника EFHG к площади этой зоны будет равно 1 - (8*π).

Конечно, это весьма грубая прикидка для моделирования ситуации, но уже даже это объясняет откуда там всплывает это самое π.

Answer 2

Странный вопрос. Что значит "почему" ? Так получается. Очевидно, из-за вращения появляется π.

Это известная старинная задача XVIII века графа де Бюффона о бросании иглы длиной L на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии r друг от друга.

Вероятность р, что игла пересечет прямую равна p = 2L/πr.

Answer 3

Задача Бюффона довольно популяно изложена в книге Жукова А. В. Вездесущее число «пи». Математическое обоснование метода определения числа π по Бюффону представленно на фото. В практическом плане линии имеют толщину и не идеально параллельны, что в какой-то степени отразится на результате.