Question

Как найти вероятность что результат анализа у пациента будет положительным?

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Как решить задачу?

Answer 1

Каждый пациент, поступивший в клинику с подозрением на гепатит, может оказаться либо здоровым, либо больным. Рассмотрим событие А, состоящее в том, что поступивший в клинику пациент болен гепатитом. Согласно условиям задачи, вероятность этого события равна P(A)=0,05. Теперь рассмотрим событие В, состоящее в том, что результат анализа крови любого пациента с подозрением на гепатит будет положительным, то есть выявит у него эту болезнь. Введём также следующие составные события: В\А — "результат анализа на гепатит оказался положительным, при условии, что пациент действительно болен гепатитом"; В\Ā — "результат анализа на гепатит также оказался положительным, хотя пациент в действительности гепатитом не болен". Здесь Ā — событие, противоположное событию А, состоящее в том, что поступивший в клинику пациент гепатитом не болен. Согласно условиям задачи, условные вероятности указанных выше событий будут равны: P(B\A)=0,9; P(B\Ā)=0,01. Для того, чтобы найти искомую вероятность события В, воспользуемся формулой полной вероятности:

P(B)=P(B\A)•P(A)+P (B\Ā)•P(Ā).

Поскольку P(Ā)=1—P(A)=1–0,05=0­<wbr />,95, то окончательно получим:

P(B)=0,9•0,05+0,01•0­<wbr />,95=0,0545=5,45 %.

Итак, только у 5,45 % всех поступивших в клинику пациентов с подозрением на гепатит будет получен положительный анализ крови.

Ответ: Р(В)=0,0545=5,45 %.