Question

Частные производные и полный дифференциал. Помогите решить хотя бы пару примеров

Answer 1

По определению частная производная это функция одной переменной. Потому, если находишь частную по х - тогда y это константа (и наоборот: если считаешь производную по y - х константа).
В твоих примерах все функции из $A\subseteq\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$, потому их дифференциал это градиент (к решению отношения не имеет, просто обозначение).

$z=\frac{y-3x}{x+4y} \\ \nabla z=(\frac{-13y}{(x+4y)^2},\frac{13x}{(x+4y)^2})$
$z=e^{\frac{3x}{y}}\\ \nabla z=(\frac{3}{y}e^{\frac{3x}{y}},-\frac{3x}{y^2}e^{\frac{3x}{y}})$
$z=ln(2x-y)\\ \nabla z=(\frac{2}{2x-y},-\frac{1}{2x-y})\\ \nabla z(1,1)=(3e^3,-3e^3)$
Будут вопросы - пиши.