Т.к. задача сформулирована именно так, а не иначе, то будем исходить , что у этого треугольника есть ТРИ высоты, две из которых совпадают с катетами. Причем, катеты будут разной длины, значит, берем меньший. Потому что при равных катетах он не может быть вчетверо меньшим гипотенузы.
Значит, с высотами определились. Далее смотри в файле.
Прим. : Если б была фраза "...длиннее высоты к гипотенузе", тогда одно решение.
Длина отрезка прямой равна sqrt(24)/sqrt(2)=2sqrt(3)
l=sqrt(3)/cos30=sqrt(3)/(sqrt(3)/2)=2
p.s. а каким боком тут теорема синусов. только подобие.
S=a²√(3)/4 =>
a²=4S/√3=4*12√(3)/√3=48 (см)
a=4√3 (см)
r=a√(3)/6=4√(3)*√(3)/6=2 (см) - радиус вписанной окружности
S=пr²=3,14*4=12,56 (см²) - площадь вписанного круга
2*2=4 (см) - сторона квадрата
S=16 (см²) - площадь квадрата
Рассмотрим треуг АВС - прямоуг
угол А=180-(90+60) = 30°
По теореме прямоугольных треугольников, напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, следовательно
СВ=1/2 АВ
СВ=1/2 * 16
СВ=8 (см)
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Тогда квадрат искомого катета = квадрат гипотенузы - квадрат известного нам катета = 20^2 - 116^2 = 400-256 = 144
Катет = квадратный корень из 144 = 12.