Вопрос этот не так прост, как может показаться на первый взгляд. Тут уже написали про расширение имперских границ, экспансию. Всё это так, но история с Кавказом намного интереснее.
Дело в том, что одним из основных компонентов будущего русского народа были так называемые "ираноязычные племена" скифов и сарматов, которые пришли на Русскую равнину через Иранское нагорье и далее на север вдоль западного берега Каспийского моря. Таким образом, Северный Кавказ (территория нынешних Краснодарского и Ставропольского краев) был наряду с Приазовьем и Северным Причерноморьем местом древнейшего расселения предков руси. Считается, что именно в предгорьях Кавказа (в районе нынешнего Пятигорска) располагалась и первая русская столица - город Кияр, в честь которого позднее получил свое имя и днепровский Киев.
Постепенно, под влиянием всё новых азиатских кочевников, русь были вынуждены уходить на север и северо-запад. Последним русским оплотом на Кавказе было знаменитое Тмутараканское княжество на Тамани. О большом значении русского фактора в регионе говорит и факт династических браков русских князей и грузинских цариц в домонгольский период.
После татарского нашествия русские на 300 лет покидают Северный Кавказ, но уже во второй половине 16 века, после присоединения Астраханского ханства и союза с Кабардой, возвращаются на свои исконные земли. Кстати, в 13 веке ушли далеко не все - часть русского населения укрылась в предгорьях, дав начало терским и гребенским казакам. В 1560-х годах воеводы Ивана Грозного докладывали царю о встреченных в Кавказском краю людях, говоривших по-русски (это и были терцы и гребенцы, которые никуда и не уходили из родных мест). В этот же период восстанавливаются и отношения Руси с Грузией.
Однако активному возвращению русского населения на Северный Кавказ мешают два фактора: кочевавшие на Кубани ногаи и немирные горцы (в основном из Чечни и Дагестана). Кочевники были покорены в конце 18 века при активном участии Суворова и переселившихся на Кубань запорожских казаков. Что характерно, запорожцы в своей челобитной на имя Екатерины Второй просили позволить им вернуться на "отеческие земли" - не случайно ведь, что ещё в 16 веке и запорожцев, и кавказских горцев русские называли одинаково - черкасам или черкесами.
Но если замирение кочевников в целом закончилось к концу 18 века, то с горцами дела обстояли гораздо сложнее. По сути дела вялотекущая война с ними шла с 1570 года, когда чеченцы впервые уничтожили стрелецкий отряд, сопровождавший русское посольство в Грузию. В активную фазу война вступила в 1780-е годы, когда был подписан договор о вассалитете грузинских правителей по отношению к русскому царю. Это привело к значительному расширению русско-грузинских контактов, помехой которым как раз и были кавказские горцы. После окончания войны с Наполеоном в 1814 году Россия получает, наконец, возможность решить и "кавказский вопрос". Правда, "решение" это растянулось почти на 50 лет - с 1817 по 1864 годы.
Относиться к этим событиям можно по-разному, но хотя бы раз побывав на Кавказе, понимаешь, что эта земля стоила того, чтобы за неё бороться столько веков и даже тысячелетий.