1) Раздельное написание.
Есть в русском языке существительное счёт, которое может употребляться с разными предлогами (на счёт, в счёт, про счёт),
в том числе и с предлогом за -- за счёт.
Это сочетание употребляется обычно, когда говорится о некоей оплате кого-нибудь (чего-нибудь) кем-то, то есть имеется в виду перенос оплаты на кого-то (что-то).
Между предлогом и существительным всегда легко можно вставить другое слово-определение (прилагательное или местоимение) или вопрос, при этом предлог повторяется в самом вопросе, например, "За мой счёт хочешь поехать?", "За бабушкин счёт живёте?", "За чей счёт всё время выезжаешь ...?", "За какой счёт...?"
Это весомый аргумент в пользу раздельного написания сочетания.
Например. Поездка Агриппины Архиповны на передачу "Поле чудес" осуществилась за счёт Совета ветеранов войны и труда нашего предприятия. Ремонт подъезда в нашем доме произведен за счёт управляющей компании.
Есть и производный отымённый предлог "за счёт", произведенный от этого сочетания существительного с предлогом. Он требует родительного падежа, а относится к тем производным предлогам, которые по правилам пишутся раздельно, что необходимо просто запомнить или справиться в орфографическом справочнике.
Например.
Этот молодой специалист быстро продвинулся до старшего инженера за счёт своих знаний и трудолюбия.
Здесь указывается при помощи предлога за счёт причина чего-то в чем-либо.
Производный предлог "за счет" синонимичен предлогам "из-за", "благодаря".
2) Слитное написание.
Есть и существительное засчёт, хотя оно и редко употребляется. Но оно имеет право на существование и использование в русском языке. Значение этого существительного, мотивированного глаголом "засчитать", думаю, -- это учёт чего-нибудь после подсчёта, вычисления каких-то результатов.
Пример употребления существительного "засчёт" разыскала и привожу полностью:
Можно сказать (хотя вряд ли кто-то допустит такой канцеляризм в речи) и так:
Засчёт воды и газа, фактически потреблённых в прошлом месяце, компанией был произведен по новым тарифам.