Question

Как найти угол ABC по медиане и стороне треугольника?

Пожалуйста, полное решение и, если не трудно, то с чертежём.

Answer 1

Предположим, что угол АВМ – Х, а угол МВС – Y, как отмечено на рисунке.

Из условия задачи мы видим, что стороны АМ, ВМ и МС равны, так как основание медианы всегда делит сторону пополам. Следовательно, треугольники АВМ и ВМС равнобедренные. Поскольку у равнобедренного треугольника углы при основании равны, можно сказать, что:

Угол ВАМ равен углу АВМ и равен Х;

Угол МВС равен углу ВСМ и равен Y.

Так как сумма углов любого треугольника равна 180°, получаем, что сумма углов треугольника АВС равна:

Х+Y+(Х+Y)=180

Далее решаем получившееся уравнение:

2Х+2Y=180

Х+Y=180/2=90

Ответ: угол АВС равен 90°.

Answer 2

Итак, что нам известно? Треугольник АВС, ВМ - медиана треугольника, ВМ = АМ = СМ. По сути, это - два равнобедренных треугольника с одной общей стороной, ВМ.

Опускаем из М две медианы: на АВ - медиану МК и на ВС - медиану МН. У нас получается четырёхугольник МКВН.

Поскольку в равнобедренных треугольниках медиана является также и высотой, можно сделать вывод, что углы МКВ и МНВ - прямые, их размер составляет 90*. Треугольник АКМ равен треугольнику КМВ, а треугольник МНВ - треугольнику МНС, по двум сторонам и углу между ними: КМ - общая, АК = ВК по условию (не забудем, что МК - медиана!) и углы между ними равны 90* (она же ещё и высота!). То же самое можно сказать и о треугольниках МНВ и МНС -они равны. Значит, равны и углы КАМ и КВМ, с одной стороны, и НВМ и МСН - с другой. Значит, сумма углов КМВ и ВМН равна сумме углов МВК и МВН. А если у четырёхугольника два противоположных угла прямые и ещё два противоположных угла равны, значит, перед нами - прямоугольник, то есть все углы у него - прямые. И угол АВС составляет 90*.

Answer 3

Начнем с чертежа для задачи:

Решение:

Пусть ∠AMB будет равен х, тогда ∠BMC = 180° - х (это смежный угол). ΔAMB и ΔMBC - равнобедренные (по построению). Таким образом, решение будет следующим:

Ответ: 90 градусов