Question

Мистер Фокс увлекается геометрией. Сегодня он нарисовал треугольник FKS со стороной FK=12 и углом FSK, равным 120∘.
Затем он на стороне FK во внешнюю сторону построил равносторонний треугольник. Помогите мистеру Фоксу определить длину отрезка, соединяющего центр равностороннего треугольника и вершину S. В ответе укажите квадрат найденного расстояния.










(длины отрезков и величины углов на рисунке могут не соответствовать значениям из условия задачи)

Answer 1

O - центр равностороннего треугольника, L - его нижняя вершина
Рассмотрим окружность, описанную около треугольника FSK
Вписанный в эту окружность угол FSK равен 120 градусов, значит соответствующая дуга окружности = 240 градусов
Оставшаяся часть окружности = 120 градусов, и на неё опирается центральный угол FOK
И на неё же опирается вписанный угол FLK
Таким образом, описанная окружность треугольника FSK и описанная окружность треугольника FLK - это одна и та же окружность.
Требуемое в задании расстояние ОS равно радиусу описанной окружности.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 1 к 2
Высота равностороннего треугольника со стороной 12 по Пифагору
h^2 + 6^2 = 12^2
h^2 = 144-36 = 108
h = 6sqrt(3)
Радиус описанной окружности = 2/3 медианы (и высоты для равностороннего)
r = 4sqrt(3)
В задании требуют квадрат этого радиуса
r^2 = 16*3 = 48