Question

На доске написаны числа 1 2 3 ... 30 за один ход разрешается стереть проивольные 3 числа, сумма которых меньше 35.
а) написать последовательность 5 первых ходов
б) можно ли сдлеать 10 ходов
в) сколько ходом можно сделать?

Answer 1

в) Предположим, нам удалось вычеркнуть n сумм.

С одной стороны, сумма всех вычеркнутых чисел не меньше 1 + 2 + 3 + ... + 3n = 3n (3n + 1)/2; с другой стороны, сумма вычеркнутых чисел не больше 34 + 33 + 32 + ... + (35 - n) = n (69 - n) / 2. Поэтому n (69 - n) / 2 ≥ 3n (3n + 1)/2; 69 - n ≥ 9n + 3; n ≤ 6.

Покажем, что n = 6 возможно:

1 + 13 + 20 = 34

2 + 12 + 19 = 33

3 + 11 + 18 = 32

4 + 10 + 17 = 31

5 + 9 + 16 = 30

6 + 8 + 15 = 29

а) Например, первые 5 примеров выше

б) Нет, по доказанному

Ответ. б) нет; в) 6