Question

1. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A, B и C, D . Проверить, будут ли эти прямые параллельны или перпендикулярны между собой.
2. Лежат ли прямые AB и CD в одной плоскости? Если да, то найдите угол между ними. Если нет, то определите кратчайшее расстояние между ними.
3. Найти точку D1, симметричную точке D относительно прямой, проходящей через точки A и B. Чему равно расстояние от точки D до указанной прямой?

Answer 1

$1)\; \; A(-1,0,2)\; ,\; \; B(1,-2,0)\; ,\; \; C(1,-1,0)\; ,\; \; D(0,1,1)\; .\\\\AB:\; \; \frac{x+1}{1+1}=\frac{y}{-2-0}=\frac{z-2}{0-2}\; \; ,\; \; \frac{x+1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-2}{-1}\; \; \to \\\\\vec{s}_{AB}=(1,-1,-1)\; ,\quad AB:\; \left\{\begin{array}{c}x=t-1\\y=-t\\z=-t+2\end{array}\right \\\\CD:\; \; \frac{x-1}{0-1}=\frac{y+1}{1+1}=\frac{z}{1-0}\; ,\; \; \; \frac{x-1}{-1}= \frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}\\\\\vec{s}_{CD}=(-1,2,1)\; ,\quad CD:\; \left\{\begin{array}{c}x=-t+1\\y=2t-1\\z=t\end{array}\right$

Проверим прямые на параллельность и перпендикулярность. Для начала, определим, лежат ли эти прямые в одной плоскости.
Прямые АВ и СD лежат в одной плоскости,если четыре точки А, В, С, D, лежат в одной плоскости, то есть если смешанное произведение любых трёх векторов , составленных из этих точек , равно нулю.

$(AB, CD, BC)= \left|\begin{array}{ccc}1&-1&-1\\-1&2&1\\0&1&0\end{array}\right|= -1\cdot \left|\begin{array}{cc}1&-1\\-1&1\end{array}\right|=-1\cdot 0=0$

Итак, прямые АВ и СD лежат в одной плоскости. Проверим ортогональность векторов   $\vec{s}_{AB}$  и   $\vec{s}_{CD}\; :$ 

$\vec{s}_{AB}\cdot \vec{s}_{CD}=1\cdot (-1)-1\cdot 2-1\cdot 1=-1-2-1=-4\ne 0$

Прямые АВ и СD не перпендикулярны.
Проверим параллельность прямых, составим пропорцию из соответствующих координат векторов: 

$\frac{1}{-1}\ne \frac{-1}{2}\ne \frac{-1}{1}$

Прямые не параллельны.
Значит прямые пересекаются. 
2) В предыдущем пункте уже проверили, что прямые лежат в одной плоскости. Найдём угол между ними:

$cos\varphi = \frac{\overline {AB}\cdot \overline {CD}}{|\overline {AB}|\cdot |\overline {CD}|}= \frac{-4}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+2^2+1^2}}=-\frac{4}{\sqrt3\cdot \sqrt6}=-\frac{2\sqrt2}{3}\\\\\varphi =arccos(-\frac{2\sqrt2}{3})=\pi -arccos\frac{2\sqrt2}{3}$

3)  Точка D1, симметричная точке D относительно прямой АВ, лежит на перпендикуляре DD1 к АВ. Причём точка пересечения DD1 с AB - точка М является серединой отрезка DD1. Так как точка М принадлежит АВ, то её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям АВ,
то есть при определённом значении параметра t координаты точки
 М(t-1; -t ; -t+2) .
Координаты вектора DM=( 0-(t-1) ; 1-(-t) ; 1-(-t+2) )=(-t+1 ; t+1 ; t-1 ) .
Скалярное произведение DM и АВ будет = 0, т.к. эти прямые перпендикулярны:
 
$\overline {DM}\cdot \overline {AB}=(-t+1)\cdot 1+(t+1)\cdot (-1)+(t-1)\cdot (-1)=\\\\=-t+1-t-1-t+1=-3t+1=0\; \; \to \; \; t=\frac{1}{3}\\\\M( \frac{1}{3}-1\; ;\; -\frac{1}{3}\; ;\; -\frac{1}{3}+2 )\; ,\; \; M(-\frac{2}{3}\; ;\; -\frac{1}{3}\; ;\; \frac{5}{3})$

Так как точка М - середина DD1, то её координаты можно найти как координаты середины отрезка DD1. Из этих формул можно найти координаты точки D1.

$x_{M}= \frac{x_{D1}+x_{D}}{2} \; \; \to \; \; x_{D_1}=2x_{M}-x_{D}\\\\x_{D_1}=- \frac{4}{3}-0=-\frac{4}{3} \\\\y_{D_1}=-\frac{2}{3}-1=-\frac{5}{3}\\\\z_{D_1}=\frac{10}{3}-1=\frac{7}{3}\\\\D_1(- \frac{4}{3}\; ;\; -\frac{5}{3}\; ;\; \frac{10}{3})$

Расстояние от точки D до прямой АВ можно найти как длину вектора DM: 

$|\overline {DM}|=\sqrt{(- \frac{2}{3}-0 )^2+(-\frac{1}{3}-1 )^2+( \frac{5}{3}-1 )^2}=\\\\=\sqrt{ \frac{4}{9}+\frac{16}{9}+\frac{4}{9} }=\sqrt{ \frac{24}{9} }= \frac{2\sqrt6}{3} = \frac{2\sqrt2}{\sqrt3} =2\sqrt{ \frac{2}{3} }$