Из рис.1 видим, что BD-биссектриса, значит ∠ADB=∠BDC. А ∠CBD=∠ADB как вертикальные. Поэтому углы BDC и CBD равны между собой. Значит треугольник BCD-равнобедренный, то есть BC=CD.
Аналогично показываем, что АВ=ВС. Таким образом три стороны трапеции равны между собой.
Если за О обозначить точку пересечения диагоналей, то из рис.2 видим, что треугольники ВОС и DOA подобны (по трем углам). Причем коэффичиент подобия равен 5/13.
Обозначим за 5х - длинну основания ВС и 13х - длинну основания AD. Найдем, чему равняется KD. KD=(AD-BC)/2=(13x-5x)/2=4x.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике KCD: KD²+CK²=CD². CK - это высота трапеции, а CD=BC=5х. Тогда имеем: (4х)²+90²=(5х)² , 8100=9х², 900=х², х=30(см).
Значит ВС=5*30=150(см), а AD=13*30=390(см).
Площадь трапеции равна
S=h*(BC+AD)/2=90*(150+390)/2=90*270=24300(см²)
Задание №
7:
На стороне AB равностороннего треугольника ABC взята точка D
так, что сумма расстояний от нее до сторон AC и BC равна 16 см. Найдите высоту
треугольника, проведенную из вершины C.
РЕШЕНИЕ: Пусть сторона треугольника а. Одно из данных
расстояний m, другое – n. Расстояния – это высоты.
Находим площади треугольников:
![S_{ADC}= \frac{1}{2} m *AC=\frac{1}{2} m a \\ S_{BDC}= \frac{1}{2}n *AC=\frac{1}{2} n a](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BADC%7D%3D%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+m+%2AAC%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+m+a+%5C%5C+S_%7BBDC%7D%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dn+%2AAC%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+n%0Aa)
Теперь их
суммируем:
![S_{ADC}+S_{BDC}= \frac{1}{2} (m+n) a](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BADC%7D%2BS_%7BBDC%7D%3D%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%28m%2Bn%29+a)
В левой части
полная площадь ABC, правую можно периписать так:
![S_{ABC}= \frac{1}{2} (m+n) *AB=\frac{1}{2} h *AB](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BABC%7D%3D%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%28m%2Bn%29+%2AAB%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+h+%2AAB)
Где h - высота из вершины C, равна
сумме расстояний = 16 см
ОТВЕТ: <span>16
см</span>
Радиусы:BA, AN, AC, DA, EA