Графики очень схематичны, .........................................
![1+tg^2\alpha=\frac{1}{cos^2\alpha}\\tg^2\alpha=\frac{1}{cos^2\alpha}-1\\tg\alpha=\pm\sqrt{\frac{1}{cos^2\alpha}-1}](https://tex.z-dn.net/?f=1%2Btg%5E2%5Calpha%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%5E2%5Calpha%7D%5C%5Ctg%5E2%5Calpha%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%5E2%5Calpha%7D-1%5C%5Ctg%5Calpha%3D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%5E2%5Calpha%7D-1%7D)
Угол 2 четверти⇒tg отрицательный(перед корнем минус)
![tg\alpha=-\sqrt{\frac{1}{cos^2\alpha}-1}=-\sqrt{\frac{1}{(-\frac{3}{2\sqrt{7}})^2}-1}= \sqrt{\frac{28}{9}-\frac{9}{9}}=-\frac{\sqrt{19}}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=tg%5Calpha%3D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%5E2%5Calpha%7D-1%7D%3D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%28-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%5Csqrt%7B7%7D%7D%29%5E2%7D-1%7D%3D%0A%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B28%7D%7B9%7D-%5Cfrac%7B9%7D%7B9%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B19%7D%7D%7B3%7D)
а) Дана функция
![y = \cos(5x)^{ {e}^{x} }](https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20%20%5Ccos%285x%29%5E%7B%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%7D%20)
Запишем выражение в развернутом виде:
![y = {e}^{ ln({ \cos(5x) }^{ {e}^{x} }) }](https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20%20%7Be%7D%5E%7B%20%20ln%28%7B%20%5Ccos%285x%29%20%7D%5E%7B%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%7D%29%20%7D%20)
Дифференцируем как сложную функцию ( y' = g(x) ):
![g(x) = \frac{d}{dx} ( {e}^{ {e}^{x} ln( \cos(5x) ) } ) \\ g(x) = \frac{d}{dx} ( {e}^{f}) \times \frac{d}{dx} ( ln( \cos(5x) {e}^{x} ) \\ g(x) = {e}^{f} ( - \frac{1}{ \cos(5x) } \times 5 {e}^{x} \sin(5x) + ln( \cos(5x)) {e}^{x} ) \\ g(x) = - 5 {e}^{x} \cos(5x) ^{ {e}^{x} - 1} \sin(5x) + \cos(5x) ^{ {e}^{x} } {e}^{x} ln( \cos(5x) )](https://tex.z-dn.net/?f=g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%28%20%7Be%7D%5E%7B%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20ln%28%20%5Ccos%285x%29%20%29%20%20%7D%20%29%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%28%20%7Be%7D%5E%7Bf%7D%29%20%5Ctimes%20%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%20%28%20ln%28%20%5Ccos%285x%29%20%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%29%20%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%7Be%7D%5E%7Bf%7D%20%28%20%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Ccos%285x%29%20%7D%20%20%5Ctimes%205%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%20%5Csin%285x%29%20%20%2B%20%20ln%28%20%5Ccos%285x%29%29%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%20%29%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20-%205%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%20%20%5Ccos%285x%29%20%5E%7B%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%20-%201%7D%20%20%5Csin%285x%29%20%20%2B%20%20%5Ccos%285x%29%20%20%5E%7B%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20%7D%20%20%20%7Be%7D%5E%7Bx%7D%20ln%28%20%5Ccos%285x%29%20%29%20)
б) Дана функция
![y = 3 ln( \sqrt{4 + x} + \sqrt{1 + x} )](https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%203%20ln%28%20%5Csqrt%7B4%20%2B%20x%7D%20%20%2B%20%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20x%7D%20%29%20)
Дифференцируем как сложную функцию вынеся константу за знак дифференциала ( y' = g(x) ):
![g(x) = 3 \frac{d}{dx} ( ln( \sqrt{4 + x} + \sqrt{1 + x} ) ) \\ g(x) = 3 \frac{d}{dx} ( ln(f) ) \times \frac{d}{dx} ( \sqrt{4 + x} + \sqrt{1 + x} ) \\ g(x) = \frac{3}{f} ( \frac{1}{2 \sqrt{4 + x} } + \frac{1}{2 \sqrt{1 + x} } ) \\ g(x) = \frac{3}{ \sqrt{4 + x} + \sqrt{1 + x} } \times \frac{ \sqrt{1 + x} + \sqrt{4 + x} }{2 \sqrt{(4 + x)(1 + x)} } \\ g(x) = \frac{3}{2 \sqrt{(4 + x)(1 + x)} } \\ g(x) = \frac{3}{2 \sqrt{ {x}^{2} + 5x + 4} }](https://tex.z-dn.net/?f=g%28x%29%20%3D%203%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%28%20ln%28%20%5Csqrt%7B4%20%2B%20x%7D%20%20%2B%20%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20x%7D%20%29%20%29%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%203%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%28%20ln%28f%29%20%29%20%5Ctimes%20%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%28%20%5Csqrt%7B4%20%2B%20x%7D%20%20%2B%20%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20x%7D%20%29%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bf%7D%20%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Csqrt%7B4%20%2B%20x%7D%20%7D%20%20%2B%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20x%7D%20%7D%20%29%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B3%7D%7B%20%5Csqrt%7B4%20%2B%20x%7D%20%20%2B%20%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20x%7D%20%7D%20%5Ctimes%20%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20x%7D%20%20%2B%20%20%5Csqrt%7B4%20%2B%20x%7D%20%7D%7B2%20%5Csqrt%7B%284%20%2B%20x%29%281%20%2B%20x%29%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%20%5Csqrt%7B%284%20%2B%20x%29%281%20%2B%20x%29%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%20%5Csqrt%7B%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%20%2B%205x%20%2B%204%7D%20%7D%20)
в) И опять дана функция
![y = \frac{ { \sin(x) }^{2} }{ \cos(x) }](https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%7B%20%5Csin%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Ccos%28x%29%20%7D%20)
Дифференцируем используя правило дифференцирования частного ( y' = g(x) ):
![g(x) = \frac{d}{dx} ( \frac{ { \sin(x) }^{2} }{ \cos(x) } ) \\ g(x) = \frac{ \frac{d}{dx}( { \sin(x) }^{2} ) \cos(x) - \frac{d}{dx}( \cos(x)) { \sin(x) }^{2}}{ \cos(x)^{2} } \\ g(x) = \frac{(2 \sin(x) \cos(x) ) \cos(x) - { \sin(x) }^{2} ( - \sin(x)) }{ { \cos(x) }^{2} } \\ g(x) = \frac{ \sin(2x) \cos(x) + { \sin(x) }^{3} }{ { \cos(x) }^{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%28%20%5Cfrac%7B%20%7B%20%5Csin%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Ccos%28x%29%20%7D%20%29%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28%20%7B%20%5Csin%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%20%29%20%5Ccos%28x%29%20%20-%20%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28%20%5Ccos%28x%29%29%20%7B%20%5Csin%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%7D%7B%20%5Ccos%28x%29%5E%7B2%7D%20%20%7D%20%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%282%20%5Csin%28x%29%20%20%5Ccos%28x%29%20%29%20%5Ccos%28x%29%20-%20%20%7B%20%5Csin%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%20%28%20-%20%20%5Csin%28x%29%29%20%20%7D%7B%20%7B%20%5Ccos%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%20%7D%20%20%20%5C%5C%20g%28x%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%5Csin%282x%29%20%20%5Ccos%28x%29%20%2B%20%20%7B%20%5Csin%28x%29%20%7D%5E%7B3%7D%20%20%7D%7B%20%7B%20%5Ccos%28x%29%20%7D%5E%7B2%7D%20%7D%20)
3) f(x)=-4x-8
4) f(x)=2-5x g(x)=√x
f(g(x))=2-5(g(x))²
144.
2) (<u>x⁻³y⁴</u>) ⁻² * ( <u> 3 </u>) ⁻³ = <u> 9² </u> * <u> (x⁻² y³)³ </u> = <u> 3⁴ </u> * <u> x⁻⁶y⁹ </u>=
( 9 ) (x⁻² y³) (x⁻³y⁴)² 3³ x⁻⁶y⁸ 3³
=3y
4) ( <u>9c⁵ </u>)⁻² : (<u>a²b⁻³</u>)³ = <u>(a³b⁻²)² </u>* <u>(2*3c⁴)³ <em /></u> =<u> a⁶b⁻⁴ </u>* <u> 2³*3³ c¹² </u>=<u />
(a³b⁻²) ( 6c⁴) (3²c⁵)² (a²b⁻³)³ 3⁴c¹⁰ a⁶b⁻⁹
= <u> 2³ c² </u>= <u> 8c² b⁵</u>
3 b⁻⁵ 3