Question

№1. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х²-3у²=12 с окружностью,имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

№2. Гипербола проходит через точку М(6; 3√5/2),симметрична относительно осей координат и имеет вещественную полуось а=4. Написать уравнения перпендикуляров ,опущенных из левого фокуса гиперболы на ее асимптоты.

С подробным решением и объяснением ,пожалуйста! :)

Answer 1

1.
Уравнение гиперболы имеет стандартный вид: $\cfrac{x^2}{a^2} - \cfrac{y^2}{b^2} =1$, где а и b - полуоси гиперболы
$x^2-3y^2=12 \\\ \cfrac{x^2}{12} - \cfrac{3y^2}{12} =1 \\\ \cfrac{x^2}{12} - \cfrac{y^2}{4} =1 \\\ \cfrac{x^2}{( \sqrt{12} )^2} - \cfrac{y^2}{2^2} =1$
Значит, у гиперболы $a= \sqrt{12} =2 \sqrt{3} ;\ b=2$
Правый фокус гиперболы имеет вид F(c; 0), где $c= \sqrt{a^2+b^2}$
Находим с:
$c= \sqrt{( \sqrt{12})^2+2^2 } =4$
Так как окружность проходит через начало координат, то ее радиус равен абсциссе правого фокуса, то есть $R=c=4$
Общий вид уравнения окружности: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$, где $(x_0; \ y_0)$ - центр окружности, R - ее радиус
Уравнение окружности: $(x-4)^2+y^2=16$
Асимптоты гиперболы имеют вид: $y=\pm \frac{b}{a} x$
Тогда, асимптоты гиперболы $y=\pm \frac{2}{2 \sqrt{3} } x=\pm\frac{ x }{\sqrt{3}}$
Подставляем в уравнение окружности выражение для у:
$(x-4)^2+( \frac{x}{ \sqrt{3} } )^2=16 \\\ x^2-8x+16+ \frac{x^2}{ 3} } =16 \\\ \frac{4x^2}{ 3} }-8x =0 \\\ x^2-6x =0 \\\ x_1=0; \ x_2=6$
Тогда у для соответствующих х равны:
 $y_1= \frac{x_1}{ \sqrt{3} } =\frac{0}{ \sqrt{3} } =0 \\\ y_1'= -\frac{x_1}{ \sqrt{3} } =-\frac{0}{ \sqrt{3} } =0 \\\ y_2= \frac{x_2}{ \sqrt{3} } =\frac{6}{ \sqrt{3} } =2 \sqrt{3} \\\ y_2'= -\frac{x_2}{ \sqrt{3} } =-\frac{6}{ \sqrt{3} } =-2 \sqrt{3}$
Ответ: $(0; \ 0)$; $(6; \ 2 \sqrt{3} )$ ; $(6; \ -2 \sqrt{3} )$

2.
Так как известна одна полуось и точка, принадлежащая гиперболе, о можно найти вторую полуось:
$\cfrac{x^2}{a^2} - \cfrac{y^2}{b^2} =1 \\\ \cfrac{6^2}{4^2} - \cfrac{(3 \sqrt{5}) ^2}{2^2\cdot b^2} =1 \\\ \cfrac{36}{16} - \cfrac{45}{4\cdot b^2} =1 \\\ \cfrac{45}{4\cdot b^2} = \cfrac{36}{16}-1 \\\ \cfrac{45}{4\cdot b^2} = \cfrac{20}{16} \\\ \cfrac{9}{b^2} = \cfrac{4}{4} \\\ b^2=9; \ b=3$
Тогда уравнения асимптот принимают вид: $y=\pm \frac{3}{4} x$
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой является обратным и противоположным числом к угловому коэффициенту исходной прямой: $k_2=- \cfrac{1}{k_1}$
Тогда, для прямой $y=\frac{3}{4}x$ таким коэффициентом является число $- \frac{4}{3}$, а для прямой $y=-\frac{3}{4}x$ - число $\frac{4}{3}$
Левый фокус гиперболы имеет вид F(-c; 0), где $c= \sqrt{a^2+b^2}$
$c=\sqrt{4^2+3^2} =5$, следовательно через точку (-5; 0) нужно провести искомые прямые
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку $(x_0; \ y_0)$ с заданным угловым коэффициентом k имеет вид: $y-y_0=k(x-x_0)$
Тогда:
$y-0=\pm \frac{4}{3} (x-(-5)) \\\ y=\pm \frac{4}{3} (x+5)$
Или по отдельности:
$y_1=\frac{4}{3} (x+5)=\frac{4}{3} x+ \frac{20}{3} \\\ y_2=-\frac{4}{3} (x+5)=-\frac{4}{3} x- \frac{20}{3}$