Question

Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого заданы (4;-5;2) (2;-3;-4) (-3;6;-3). Найти координаты четвертой вершины, величину острого угла параллелограмма и его площадь. Найти координаты точки S, симметричной точки D относительно начала координат. Найти объем пирамиды ABCS.

Answer 1

Находим координаты точки О - точки пересечения диагоналей параллелограмма. Это середина АС:
хО = (4-3)/2 = 1/2,
уО = (-5+6)/2 = 1/2,
zO = (2-3)/2 = -1/2.
Теперь определяем координаты точки Д, как симметричной точке В относительно точки О.
хД = 2хО - хВ = 2*(1/2) - 2 = 1 - 2 = -1,
уД = 2уО - уВ = 2*(1/2) - (-3) = 1 + 3 = 4,
zД = 2zО - zВ = 2*(-1/2) - (-4) = -1 + 4 = 3.
Точка Д(-1; 4; 3).
Находим стороны параллелограмма.
                           х     у      z         модуль
    Вектор АВ    -2     2     -6     √(4+4+36) = √44 = 2√11 ≈ 6,63325,
    Вектор АД    -5     9      1     √(25+81+1) =√107 ≈  10,34408.
Определяем косинус угла АВ∧АД:
cos (АВ∧АД) = ((-2)*(-5)+2*9+(-6)*1)/(√44*√107) = (10+18-6)/(√4708) =
                      = 22/(2√1177) = 0,32063.
Угол АВ_АД,
Cк а*в = 22 ,
Мод а. в = 68,614867,
cos a_b = 0,3206302,
угол a_b = 1,2444016  радиан,
угол a_b = 71,298958 градусов.

Координаты точки S, симметричной точке Д относительно начала координат, имеют значения координат точки Д с обратным знаком.
Точка Д(-1; 4; 3).
Точка S(1; -4; -3).
Объем пирамиды равен: 
(AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AS{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3.
Произведение векторов a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.
                  x      y      z
AB*AC =  56    32    -8.
Вектор АS={xS-xA, yS-yA, zS-zA}   -3     1      -5.
Объем пирамиды равен: 
V = (1/6)*|(56*(-3)+32*1+(-8)*(-5) = (1/6)*|(-168+32+40)|.
V = (1/6) * 96  = 16 куб.ед.