Иван III, объединив вокруг Московского княжества соседние княжества и разбив Новгородское княжество в Шелонской битве (1471 г), объявил себя Великим князем Всея Руси. Таким образом, Ивана III можно считать первым государем Всея Руси. Кроме того, он выдвинул положение, что московские князья являются наследниками князей Киевской Руси, развалившейся в XII веке на отдельные княжества. В результате Русско-Литовских войн были возвращены некоторые территории: Чернигов, Новгород-Северский, Стародуб, Путивль, Гомель, Брянск и другие.
Пережив тяжелые времена Смутного времени (начало XVII века), когда государственность России была под угрозой, Россия выстояла в борьбе с польскими оккупантами. А в дальнейшем территория России (с 1721 года, после окончания русско-шведской войны, Российской империи) была значительно расширена по сравнению с территорией Московской Руси. Тут можно вспомнить также, что после распада Золотой Орды Иван III объявил Московскую Русь также наследницей Золотой Орды и предъявил претензии на ее бывшие земли. В результате революций 1917 года и последующей гражданской войны, образовался СССР (30 декабря 1922 г), в который вошла бывшая Российская империя (без Финляндии и части Польши). В 1991 году Союз развалился. Де-факто подписанное Беловежское соглашение провозгласило Россию правопреемницей СССР.
Если не вдаваться в тонкости понятий "правопреемник" и "наследник", можно сказать, что именно поэтому считают Россию (а, например, не Украину, Польшу, Литву, Беларусь, Турцию и т.д.) наследницей Древней Руси и Российской империи.
P.S. *Должен добавить, что де-юре положение о правопреемстве в Беловежском соглашении не узаконено! Так как оно не было закреплено в конституции РФ. Таким образом федерельные законы применяют положения, которых нет в Конституции Российской Федерации. Но с другой стороны, международное сообщество признает Россию в качестве государства-продолжателя СССР. То есть, это как бы одно и то же государство, и о правопреемстве (наследии) речи не идет. В международном праве есть понятие "континуитет" - "непрерывность государства как субъекта международного права; непрерывность международных обязательств государства, в том числе договорных". Соответственно, весь внешний долг был взвален на одну Россию*.