Нарисуйте картинку. Угол между центром кольца и вертикалью назовем
![\Phi](https://tex.z-dn.net/?f=%5CPhi)
. Угол, на который повернулось колесо (само) относительно состояния в положении равновесия, обозначим
![\varphi](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvarphi)
. Радиус кольца -
![r](https://tex.z-dn.net/?f=r)
, радиус ямы -
![R](https://tex.z-dn.net/?f=R)
.
В задаче три вида энергии: кинетическая поступательного движения, кинетическая вращательного и потенциальная. Посчитаем каждую из них глядя на картинку.
Кин. эн. поступ. движения:
![T_\mathrm{tr.}=\frac 12 mv_\mathrm{m.c.}=\frac 12 m (R-r)^2\dot\Phi^2;](https://tex.z-dn.net/?f=T_%5Cmathrm%7Btr.%7D%3D%5Cfrac+12+mv_%5Cmathrm%7Bm.c.%7D%3D%5Cfrac+12+m+%28R-r%29%5E2%5Cdot%5CPhi%5E2%3B)
Вращательного:
![T_\mathrm{spin}=\frac 12 mr^2\dot\varphi^2=\frac 12 mR^2\dot\Phi^2](https://tex.z-dn.net/?f=T_%5Cmathrm%7Bspin%7D%3D%5Cfrac+12+mr%5E2%5Cdot%5Cvarphi%5E2%3D%5Cfrac+12+mR%5E2%5Cdot%5CPhi%5E2)
(здесь использована кинематическая связь между углами
![\varphi r=\Phi R](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvarphi+r%3D%5CPhi+R)
)
И потенциальная:
![\Pi=mgh_\mathrm{m.c.}=mg(R-r)(1-\cos \Phi)=\frac 12mg(R-r) \Phi^2](https://tex.z-dn.net/?f=%5CPi%3Dmgh_%5Cmathrm%7Bm.c.%7D%3Dmg%28R-r%29%281-%5Ccos+%5CPhi%29%3D%5Cfrac+12mg%28R-r%29+%5CPhi%5E2)
(последнее равенство, на самом деле, приближенное. Здесь использована малость угла
![\Phi](https://tex.z-dn.net/?f=%5CPhi)
, а именно, первые два члена разложения косинуса в ряд Тейлора:
![\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^4)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccos+x%3D1-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2Bo%28x%5E4%29)
).
Полная энергия в процессе движения, конечно, сохраняется. Так и запишем.
![\frac 12 m(R-r)^2\dot\Phi^2+\frac 12 mR^2\dot\Phi^2+\frac 12mg(R-r)\Phi^2=\mathrm{const}.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac+12+m%28R-r%29%5E2%5Cdot%5CPhi%5E2%2B%5Cfrac+12+mR%5E2%5Cdot%5CPhi%5E2%2B%5Cfrac+12mg%28R-r%29%5CPhi%5E2%3D%5Cmathrm%7Bconst%7D.)
Вообще, по школьному алгоритму нужно сейчас это уравнение продифференцировать по времени, но можно этого и не делать, а вместо этого сказать такие слова: уравнение вида
![\dot y^2+\omega^2 y^2=\mathrm{const}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdot+y%5E2%2B%5Comega%5E2+y%5E2%3D%5Cmathrm%7Bconst%7D)
является тем, что в теоретической механике называется первым интегралом уравнения гармонического осциллятора
![\ddot y+\omega^2 y=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cddot+y%2B%5Comega%5E2+y%3D0)
. Омеги, стоящие перед вторыми членами в этих уравнениях в силу некоторых, скорее даже, математических причин, совпадают.
Ну и все тогда, пишем квадрат круговой частоты, внимательно глядя на закон сохранения энергии.
![\omega^2=\frac{mg(R-r)}{m(R-r)^2+mR^2}\longrightarrow\boxed{T=2\pi\left(\frac{(R-r)^2+R^2}{g(R-r)}\right)^{1/2}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Comega%5E2%3D%5Cfrac%7Bmg%28R-r%29%7D%7Bm%28R-r%29%5E2%2BmR%5E2%7D%5Clongrightarrow%5Cboxed%7BT%3D2%5Cpi%5Cleft%28%5Cfrac%7B%28R-r%29%5E2%2BR%5E2%7D%7Bg%28R-r%29%7D%5Cright%29%5E%7B1%2F2%7D%7D)
Обратите внимание, что ответ не зависит от массы кольца!
P.S. можно похулиганить немножко, предположив, что
![r^2=o(R)](https://tex.z-dn.net/?f=r%5E2%3Do%28R%29)
, то есть, что радиус ямы намного больше радиуса кольца. Тогда выражение для периода вырождается в соответствии с предположением (по рабоче-крестьянски, мы тут пренебрегаем квадратом радиуса кольца), в более красивый ответ:
![T=\pi\sqrt{\frac{2g}{R}}.](https://tex.z-dn.net/?f=T%3D%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2g%7D%7BR%7D%7D.)
Обратите внимание, что в этом приближении ответ не зависит даже от радиуса кольца, но зависит, конечно, от радиуса ямы (который в условии очень напрасно не дан). Последнее легко видеть, положив радиус ямы равным бесконечности. Тогда у нас задача превращается в катание колеса по плоскости. В этом случае никаких колебаний нет, а формально, их период равен бесконечности. Теперь ясно, что ответ обязательно должен зависеть от радиуса ямы.