Question

Уравнение |х во второй степени - 4х-1|= а имеют четыре различных корня, если

Answer 1

Уравнение |x²-4x-1|=a имеет четыре различных корня, если
Решение:
Уравнение имеет решение если значение параметра а больше нуля а>0, при а<0 уравнение не имеет смысла.
 
Для правильного решения уравнения необходимо представить левую и правую часть уравнения на координатной плоскости.
у = x²-4x-1 - уравнение параболы ветви которой направлены вверх
D =4²+4=20>0 Следовательно парабола пересекает ось Ox в двух точках
Для функции у =|x²-4x-1| часть параболы под осью Ох зеркально отобразится вверх над осью Ох.
Уравнение y=a является прямой параллельной  оси Ох.
Следовательно для пересечения этой прямой функции у =|x²-4x-1| необходимо
, чтобы локальный максимум (вершина параболы) функции у =|x²-4x-1| был выше прямой y=a.
Найдем координаты вершины параболы.
Парабола у = x²-4x-1 имеет минимум в точке х =-b/(2a) = 4/2 = 2
Подставим это значение в уравнение параболы
 y = 2² - 4*2 -1 =4-8-1 =-5
Локальный максимум(вершина параболы) функции у =|x²-4x-1|  равен y=|-5| =5
Следовательно уравнение имеет четыре решения если а∈(0;5)
Ответ:(0;5)

 

Answer 2

можно и так
$|x^2-4x-1|=a$  (1)
 
во первых a>0  (2)
Далее  уравнение (1) "распадается" на два
$x^2-4x-1=a$  (3)
$x^2-4x-1=-a$  (4)
При этом должно быть выполнено (2)

Рассмотрим уравнение (3).
$x^2-4x-1=a$ 
$x^2-4x-1-a=0$ Если (обозначим 1+a=с) Получим
$x^2-4x-c=0$  (5)
(5) Обычное квадратное уравнение оно будет иметь два различных вещественных корня, если его дискриминант будет больше 0. Т.е.
$4^2-4*1*(-c)=16+4c\ \textgreater \ 0$
$16+4c\ \textgreater \ 0 \newline 4c\ \textgreater \ -16 \newline c\ \textgreater \ -16/4=-4 \newline a+1\ \textgreater \ -4$

$a\ \textgreater \ -5$    (6)

Аналогично из уравнения 4 получаем:
$x^2-4x-1=-a \newline x^2-4x-1+a=0 \newline c=a-1 \newline x^2-4x+c=0 \newline D=16-4c\ \textgreater \ 0 \newline \newline 16-4c\ \textgreater \ 0 \newline -4c\ \textgreater \ -16 c\ \textless \ 4 \newline a-1\ \textless \ 4 \newline a\ \textless \ 5$
a<5  (7)
Это еще два корня
Итого 4 корня
$x_{1,2}= \frac{4 \pm \sqrt{16+4(1+a)} }{2} =2\pm \frac{2 \cdot \sqrt{4+(1+a)} }{2} =2\pm \sqrt{5+a} \newline \newline x_{3,4}= \frac{4 \pm \sqrt{16-4(a-1)} }{2} =2 \pm \frac{2\cdot \sqrt{4+1-a} }{2} =2\pm \sqrt{5-a}$

Находя пересечение интервалов (2), (6), (7), получаем 0<a<5 или a∈(0; 5)
Ответ a∈(0;5)