Question

Всем привет)нужна срочно помощь вычислить предел "по правилу Лопиталя")))

Answer 1

$\lim_{x\to 1} \dfrac{1-4\sin^2 \frac{ \pi x}{6} }{1-x^2} =\lim_{x\to 1} \dfrac{1-4\cdot \dfrac{1-\cos \frac{ \pi x}{3} }{2} }{(1-x)(1+x)} =\\ \\\\ =\lim_{x\to 1} \dfrac{1-2+2\cos \frac{ \pi x}{3} }{(1+1)(1-x)} = \dfrac{1}{2} \lim_{x\to 1} \dfrac{2\cos \frac{ \pi x}{3} -1}{1-x} \,\,\,\,\boxed{=}$

Воспользуемся правилом Лопиталя(возьмём в производную числитель и знаменатель):
$\boxed{=}\,\, \dfrac{1}{2} \lim_{x \to 1} \dfrac{(2\cos \frac{ \pi x}{3}-1)^' }{(1-x)^'} =\dfrac{1}{2}\lim_{x \to 1} \dfrac{- \frac{2 \pi }{3} \sin \frac{ \pi x}{3} }{-1} =$


$=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2 \pi }{3}\sin\left( \dfrac{ \pi \cdot 1}{3} \right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2 \pi }{3}\cdot\dfrac{ \sqrt{3} }{2}= \dfrac{ \pi }{2 \sqrt{3} }$


Ответ: $\dfrac{ \pi }{2 \sqrt{3} } .$